2005年考研数学三真题

答案：$2$。

解题思路

看到正弦函数，先看它的自变量是否趋于 $0$。这里虽然 $x$ 趋于无穷，但 $2x/(x^2+1)$ 的分母次数更高，因此趋于 $0$，可以使用基本极限 $\lim_{t\to0}\sin t/t=1$。外面的 $x$ 趋于无穷，不能把两个因子的极限直接相乘，而应先将式子改写成“基本极限因子乘以有有限极限的因子”。

详细步骤

令 $t=2x/(x^2+1)$。当 $x\to\infty$ 时，$t\to0$；对于充分大的非零 $x$，$t\ne0$，于是

$$x\sin\frac{2x}{x^2+1} =\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{2x^2}{x^2+1}.$$

第一因子由正弦基本极限趋于 $1$，第二因子同时除以 $x^2$，得到

$$\frac{2x^2}{x^2+1}=\frac{2}{1+1/x^2}\longrightarrow2.$$

两个因子现在都有有限极限，可以使用乘积的极限法则，原极限为 $1\times2=2$。若把无穷理解为沿正、负两个方向趋向无穷，上述计算都成立，因为第二因子只含 $x^2$，结果仍相同。

这里正弦基本极限适用于自变量从零的两侧趋近，不要求自变量为正。改写后的第二因子还说明，外面的增长恰好抵消了正弦项的衰减；这也是本题最后得到非零常数而不是零的原因。

易错点

不能因为正弦部分趋于 $0$ 就断言整个乘积趋于 $0$；本题是“无穷乘以无穷小”的未定式。等价无穷小应作用于正弦的整个自变量，而不是只保留其中的分子 $2x$。

答案：$y=2/x$，含初值的最大解区间为 $(0,+\infty)$。

解题思路

方程中 $xy'$ 与 $y$ 恰好组成乘积 $xy$ 的导数，因为乘积求导公式给出 $(xy)'=xy'+y$。识别出这个结构后，可以直接积分，比先分离变量更简洁，也避免在分离变量时除以 $y$ 而遗漏零解。求出通解后，再用初始条件确定积分常数，并检查解的定义区间。

详细步骤

原方程可改写为

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy)=0.$$

在任一连通的解区间上，导数恒为零的函数是常数，所以 $xy=C$。初值点为 $x=1$，代入 $y(1)=2$，得到 $C=1\times2=2$，故

$$y(x)=\frac2x.$$

验证时，$y'=-2/x^2$，从而 $xy'+y=-2/x+2/x=0$，并且 $y(1)=2$。表达式在 $x=0$ 处没有定义，而包含初值点 $1$ 的最大连通区间是 $(0,+\infty)$。它不能作为同一个初值问题的解跨过 $0$：事实上原方程在 $0$ 处要求 $y(0)=0$，这也与 $2/x$ 无法连续延拓相矛盾。

由乘积导数得到的常数可以是零，此时会有零解，但零解不满足给定初值，因而不被选中。初值只负责从通解族中确定常数，解的区间则由方程和得到的函数表达式共同决定，二者需要分别检查。

易错点

常数是 $xy$ 的值，不是 $y$ 的值，不能写成 $y=2$。负半轴上也可单独定义 $2/x$，但该区间不包含初值点，不能取代本题初值问题的解区间。

答案：$\mathrm{d}z\big|_{(1,0)}=2e\,\mathrm{d}x+(e+2)\,\mathrm{d}y$。

解题思路

二元函数的全微分由两个一阶偏导数组成：$\mathrm{d}z=z_x\,\mathrm{d}x+z_y\,\mathrm{d}y$。偏导数表示只改变一个自变量、将另一个视为常数时的变化率。本题两项都含乘积或复合函数，应先分别求出一般点处的偏导数，再代入给定点，不能一开始就把 $x,y$ 全部替换为常数。

详细步骤

对数要求 $1+y>0$，即 $y>-1$。点 $(1,0)$ 位于这个定义域内部，且两项的一阶偏导数在该点附近连续，因此函数可微，全微分公式适用。对 $x$ 求偏导时，$y$ 固定，由乘积法则有

$$z_x=e^{x+y}+xe^{x+y}+\ln(1+y) =(1+x)e^{x+y}+\ln(1+y).$$

对 $y$ 求偏导时，$x$ 固定，指数函数的内层导数为 $1$，对数函数的导数为 $1/(1+y)$，因此

$$z_y=xe^{x+y}+\frac{x+1}{1+y}.$$

代入 $x=1,y=0$，得到 $z_x(1,0)=2e$、$z_y(1,0)=e+2$。将它们作为 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 的系数，便得到所求全微分。

从近似意义看，点附近的小增量满足

$$\Delta z=2e\,\Delta x+(e+2)\,\Delta y +o\!\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right).$$

全微分就是其中的一阶线性部分。若只让一个自变量变化，它退化为相应偏导数乘以该自变量的增量；若两者同时变化，就必须把两部分相加，这解释了答案中为什么有两个独立的微分符号。

易错点

求 $z_x$ 时，$xe^{x+y}$ 要对两个因子分别求导；只写 $xe^{x+y}$ 会漏掉一项。全微分是关于 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 的线性表达式，不是函数在 $(1,0)$ 的数值。

答案：$a=\tfrac12$。

解题思路

四个四维行向量组成一个四阶方阵。对于这种“向量数等于维数”的情况，行向量线性相关当且仅当矩阵的行列式为零。因此将问题转成含参数的行列式方程，再用行变换制造零元素，降低计算量。最后还必须使用题设 $a\ne1$ 排除不允许的根。

详细步骤

记四个向量构成的矩阵为 $M$。依次作不改变行列式的变换

$$R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-\frac32R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-2R_1.$$

得到

$$|M|= \begin{vmatrix} 2&1&1&1\\ 0&0&a-1&a-1\\ 0&\frac12&-\frac12&a-\frac32\\ 0&1&0&-1 \end{vmatrix} =2\begin{vmatrix} 0&a-1&a-1\\ \frac12&-\frac12&a-\frac32\\ 1&0&-1 \end{vmatrix}.$$

三阶行列式按第一行展开，计算为

$$|M|=2\left[-(a-1)(1-a)+\frac{a-1}{2}\right] =(a-1)(2a-1).$$

线性相关要求 $|M|=0$，故候选值为 $a=1$ 或 $a=1/2$。结合明确给出的 $a\ne1$，唯一合法值是 $a=1/2$。

还可以核验这个值确实产生了非平凡的相关关系。把四个原行向量依次记为 $r_1,r_2,r_3,r_4$，在 $a=1/2$ 时逐坐标计算可得

$$-r_1+2r_2-2r_3+r_4=(0,0,0,0).$$

系数并非全零，所以确实线性相关。另一个候选值 $a=1$ 会使前两行完全相同，也能造成相关，但它恰好被题设排除了。这种核验能同时检查行列式计算与最后筛选是否一致。

易错点

行列式展开时第二列的代数余子式带负号。不能只列出 $a=1$ 和 $a=1/2$ 就结束，题设排除条件是筛选最终答案的必要步骤。

答案：$P\{Y=2\}=\tfrac{13}{48}$。

解题思路

抽取分为两步，第二步可以选择的数目由第一步的结果 $X$ 决定。因此先按 $X=1,2,3,4$ 分类，分别求条件概率，再用全概率公式加权。按题目中“任取”的通常含义，两次选择都在当时允许的数中等概率进行；不能把最终出现的所有数对误当作等概率样本点。

详细步骤

第一步从四个数中等概率取一个，所以 $P(X=k)=1/4$，$k=1,2,3,4$。在 $X=k$ 的条件下，第二步从 $1$ 到 $k$ 的 $k$ 个数中等概率取数。若 $k=1$，根本无法取到 $2$，故条件概率是 $0$；若 $k\ge2$，取到 $2$ 的概率为 $1/k$。于是

$$P(Y=2\mid X=1)=0,\quad P(Y=2\mid X=2)=\frac12,\quad P(Y=2\mid X=3)=\frac13,\quad P(Y=2\mid X=4)=\frac14.$$

这四个关于 $X$ 的事件互斥且覆盖全部可能情况，全概率公式给出

$$P(Y=2)=\sum_{k=1}^4P(X=k)P(Y=2\mid X=k) =\frac14\left(\frac12+\frac13+\frac14\right) =\frac{13}{48}.$$

若把样本点写成有序对 $(k,j)$，其中 $1\le j\le k\le4$，其概率是 $1/(4k)$。例如 $(2,2)$ 的概率为 $1/8$，而 $(4,2)$ 的概率为 $1/16$，两者并不相等。虽共有十个可能数对、其中三个满足第二坐标为二，也不能用简单的“有利个数除以总个数”得到概率。

易错点

虽然 $Y$ 可能取 $1,2,3,4$，其边缘分布并不均匀，不能直接写 $1/4$。两步抽取不是独立的，因为第二步的取值范围依赖 $X$。

答案：$a=0.4$，$b=0.1$。

解题思路

分布表中全部概率之和必须为 $1$，这给出第一个方程。题设独立的是两个具体事件，而不是直接说随机变量 $X,Y$ 独立；应分别写出这两个事件及其交事件的概率，再使用事件独立的定义 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，获得第二个方程。

详细步骤

由概率总和为 $1$，且各格概率非负，有

$$0.4+a+b+0.1=1,\qquad a+b=0.5.$$

令 $A=\{X=0\}$、$B=\{X+Y=1\}$。事件 $A$ 包含分布表第一行的两个格子，故 $P(A)=0.4+a$。事件 $B$ 对应 $(X,Y)=(0,1)$ 或 $(1,0)$，故 $P(B)=a+b=0.5$。同时满足 $X=0$、$X+Y=1$ 只能是 $(0,1)$，所以 $P(A\cap B)=a$。独立性因此写为

$$a=(0.4+a)\times0.5=0.2+0.5a.$$

移项得 $0.5a=0.2$，即 $a=0.4$；再由 $a+b=0.5$ 得 $b=0.1$。四个概率均非负，和为 $1$，并且 $P(A\cap B)=0.4=0.8\times0.5$，满足题设。

独立性也可以从条件概率的角度理解：因为 $P(A)=0.4+a>0$，要求事件 $A$ 发生后事件 $B$ 的概率不变，即

$$P(B\mid A)=\frac{a}{0.4+a}=P(B)=0.5.$$

它与上面得到的是同一个方程，而不是新的额外假设。分布表中事件的概率要先通过相应格子求和，再代入独立性条件；不能直接凭表中某两个数字相等与否判断事件独立。

易错点

交事件不是整行或整列，而只有 $(0,1)$ 一个格子。题设的事件独立不能未经证明替换成 $X$ 与 $Y$ 独立，否则可能列出不属于题设的约束。

答案：B，$a=4$。

解题思路

参数 $a$ 只使三次函数的图像上下平移，不改变其极值点。要判断不同实零点的个数，可以先求导数、确定三个单调区间，再看极大值和极小值是否跨过横轴。三次函数恰有两个不同实零点时，其中一个是重根，即图像在某个极值点接触横轴，另外还有一个普通零点。

详细步骤

求导得

$$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2).$$

因此 $f$ 在 $(-\infty,1)$ 递增，在 $(1,2)$ 递减，在 $(2,+\infty)$ 递增；$x=1$ 是极大值点，$x=2$ 是极小值点。两个极值分别为

$$f(1)=5-a,\qquad f(2)=4-a.$$

当 $4<a<5$ 时，两极值一正一负，每个单调区间各有一个零点，共三个。若 $a<4$ 或 $a>5$，只有一个实零点。边界 $a=4$ 或 $a=5$ 才出现两个不同零点。四个选项中只有 $a=4$ 符合；此时还可直接验证

$$f(x)=2x^3-9x^2+12x-4=(x-2)^2(2x-1),$$

不同零点为 $2$ 和 $1/2$。

在这一边界情形下，$x=2$ 处的导数为零而二阶导数为 $6$，图像在横轴上有一个真正的极小值接触点；$x=1/2$ 则是普通穿越点。这说明两个位置不同，但接触点的代数重数为二，恰好与三次多项式总次数相符。

易错点

“两个不同零点”按不同的实数位置计数，二重根只算一个。不能因三次多项式有三个根（计重数）就排除本题情形；此外，$a=5$ 虽也成立，但不在给定选项中。

答案：A，即 $I_3>I_2>I_1$。

解题思路

积分区域是单位圆盘，三个被积函数都只依赖到原点的距离。令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，三个余弦函数的自变量依次是 $r$、$r^2$、$r^4$。先比较这些自变量，再利用余弦函数在相应区间内的单调性比较被积函数，最后比较积分。第三个被积函数是自变量的平方进入余弦，即 $\cos(r^4)$。

详细步骤

由 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}$，有 $0\le r\le1$，从而

$$r^4\le r^2\le r.$$

当 $0<r<1$ 时，上面的两处不等号都是严格的。余弦在 $[0,1]$ 上严格递减，因为其导数为 $-\sin t$，在 $0<t<1$ 时为负。因此整个圆盘上都有

$$\cos(r^4)\ge\cos(r^2)\ge\cos r,$$

且在 $0<r<1$ 时严格不等式成立。对同一区域积分，得到 $I_3\ge I_2\ge I_1$。

为了说明积分的不等号也是严格的，可以取圆环 $1/4\le r\le1/2$。在这个面积非零的区域上，两组被积函数的差都是连续正函数，因此各自的积分严格为正。于是

$$I_3-I_2=\iint_D[\cos(r^4)-\cos(r^2)]\,\mathrm{d}\sigma>0,$$

$$I_2-I_1=\iint_D[\cos(r^2)-\cos r]\,\mathrm{d}\sigma>0.$$

故 $I_3>I_2>I_1$，对应选项 A。原点和单位圆周上出现等号，不会改变积分的严格大小关系。

易错点

不要把 $\cos\bigl((x^2+y^2)^2\bigr)$ 误读成 $\cos^2(x^2+y^2)$：前者平方的是余弦的自变量，后者平方的是余弦值。余弦在本题所用区间内递减，所以自变量较小的被积函数反而较大；比较积分时还要说明严格不等式在面积非零的区域上成立。

答案：D。

解题思路

题设给出了交错级数收敛，应直接利用其部分和收敛的定义。把相邻两项分成一组，分组级数的第 $N$ 个部分和正好等于原级数的第 $2N$ 个部分和，因此一定收敛。这个论证不需要补充 $a_n$ 单调递减；题中并没有该条件，不能擅自套用莱布尼茨判别法。

详细步骤

记奇数项和与偶数项和为

$$O_N=\sum_{n=1}^Na_{2n-1},\qquad E_N=\sum_{n=1}^Na_{2n}.$$

交错级数收敛，设其和为 $s$，则偶数项部分和满足

$$O_N-E_N=\sum_{k=1}^{2N}(-1)^{k-1}a_k\longrightarrow s.$$

左边就是 D 所列级数的部分和，故 D 正确。另一方面，$a_n>0$ 且总正项级数发散，说明其部分和趋于 $+\infty$，所以 $O_N+E_N\to+\infty$。利用

$$O_N=\frac{(O_N+E_N)+(O_N-E_N)}2,\qquad E_N=\frac{(O_N+E_N)-(O_N-E_N)}2,$$

可知两者都趋于 $+\infty$。因此 A、B 中“有一类子级数收敛”的结论均错误；C 所列级数的部分和就是 $O_N+E_N$，也发散。

原交错级数收敛还说明它的通项趋于零，也就是 $a_n\to0$。这与正项和发散并不矛盾：通项趋于零只是级数收敛的必要条件，并不充分。题设的两个性质恰好体现了交错符号带来的抵消作用。

易错点

相邻有限项分组保留了原来次序，不能与任意重排混为一谈。总正项级数发散并不意味着相邻差的级数也发散，正负抵消可能使后者收敛。

答案：B，$f(0)$ 是极小值，$f(\pi/2)$ 是极大值。

解题思路

极值描述的是某点附近的函数值与该点函数值之间的大小关系，不能仅凭 $f(0)$、$f(\pi/2)$ 两个数值互相比较。对可导函数，先求导，再检查指定点左右的导数符号：由负变正是极小值，由正变负是极大值。本题求导后正弦项恰好抵消，导数符号很容易判断。

详细步骤

使用乘积法则和余弦的求导公式，得到

$$f'(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x.$$

在 $0$ 的一个足够小邻域内，$\cos x>0$，因此 $x<0$ 时 $f'(x)<0$，$x>0$ 时 $f'(x)>0$。函数先递减后递增，所以 $x=0$ 是极小值点，极小值为 $f(0)=1$。

在 $\pi/2$ 的足够小邻域内，$x>0$。左侧 $\cos x>0$，右侧 $\cos x<0$，所以导数由正变负，$x=\pi/2$ 是极大值点，其极大值为 $f(\pi/2)=\pi/2$。也可用二阶导数检验：

$$f''(x)=\cos x-x\sin x,\qquad f''(0)=1>0,\quad f''(\pi/2)=-\pi/2<0.$$

两种判断一致，对应选项 B。

这里的极大、极小都是局部意义，只比较指定点的某个邻域。函数在整个实轴上并没有最大值或最小值：在正弦等于正一、负一的两列越来越大的正数处，函数值分别向正无穷、负无穷变化。因此不能把局部极值理解为全局最值。

易错点

求 $x\sin x$ 的导数要同时包含 $\sin x$ 与 $x\cos x$。$f'(x_0)=0$ 只是可能出现极值的必要条件，须继续检查符号变化或适用的二阶导数判别。

答案：C。

解题思路

闭区间上连续函数必有界，但本题给的是开区间 $(0,1)$，端点附近可能出现无界增长。导数有界则不同：它限制了函数值相对于一个固定点的变化速度。通过拉格朗日中值定理，可以把“导数有统一上界”转成“函数值有统一上界”，从而证明 C；其余选项用反例判别。

详细步骤

假设 $|f'(x)|\le M$ 在 $(0,1)$ 恒成立，固定 $x_0=1/2$。对任意 $x\in(0,1)$，连接 $x$ 与 $1/2$ 的闭线段仍包含于 $(0,1)$。可导性保证函数在该线段上连续、内部可导，故中值定理给出某个 $\xi$，使

$$f(x)-f(1/2)=f'(\xi)(x-1/2).$$

于是

$$|f(x)|\le|f(1/2)|+M|x-1/2| \le|f(1/2)|+\frac M2.$$

右侧与 $x$ 无关，证明 $f$ 有界，C 正确。对于 A、B，取 $f(x)=1/x$：函数及其导数 $-1/x^2$ 在开区间内都连续，但 $f$ 在 $x\to0^+$ 时无界。对于 D，取 $f(x)=\sin(1/x)$，它始终满足 $|f(x)|\le1$，但 $f'(x)=-\cos(1/x)/x^2$ 无界，例如令 $x=1/(2k\pi)$ 即可看出。

在最后这个反例中，每个区间内部的点都可以求导，问题出在靠近被排除的端点零时振荡越来越快。函数值受到振幅限制而有界，变化率却可以任意大，因而“函数有界”不足以控制导数。这也解释了为什么中值定理的证明方向不能反过来使用。

易错点

连续有界定理的闭区间条件不能遗漏。导数“连续”和“有界”是不同性质，在开区间上前者不推出后者。

答案：A，$a_{11}=\tfrac{\sqrt3}{3}$。

解题思路

伴随矩阵最常用的恒等式是 $AA^*=|A|E_3$，它对奇异矩阵也成立。代入 $A^*=A^T$ 后得到 $AA^T=|A|E_3$，而 $AA^T$ 的对角元素正是各行向量的长度平方。因此第一行三个相等的正数既能说明行列式不为零，也能在确定行列式后直接求出该数。

详细步骤

设 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=t>0$，记 $d=|A|$。由伴随矩阵恒等式和题设，

$$AA^T=dE_3.$$

比较两边的第 $(1,1)$ 个元素，左边是第一行与自身的内积，故

$$3t^2=d.$$

由于 $t>0$，得到 $d>0$，所以可以确认 $A$ 可逆，之后除以 $d$ 才合法。对矩阵等式取行列式，利用转置不改变行列式以及三阶单位矩阵的性质，得

$$|AA^T|=|A||A^T|=d^2, \qquad |dE_3|=d^3.$$

因此 $d^2=d^3$，结合 $d\ne0$ 得 $d=1$。再代回 $3t^2=1$，并利用正数条件取正根，得到 $t=1/\sqrt3=\sqrt3/3$，选 A。

此时矩阵等式成为 $AA^T=E_3$，表示三行向量各自的长度都是一，并且不同行之间互相正交。答案使用的是第一行长度平方，而不是第一行各元素的和；即使三个元素相等，也要先平方再相加。至于其余两行的具体元素，题目没有要求，第一行的长度条件已经足以确定所求数值。

易错点

不能未经论证就假设 $A$ 可逆并使用 $A^*=|A|A^{-1}$。另外，$|dE_3|=d^3$ 而不是 $d$，矩阵阶数决定标量因子的幂次。

答案：B，充分必要条件为 $\lambda_2\ne0$。

解题思路

特征向量满足 $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i$，因此先把 $A(\alpha_1+\alpha_2)$ 展开成两个特征向量的线性组合。不同特征值对应的特征向量线性无关，可以把它们作为一个二维空间的坐标基。第二个待考察向量是否与 $\alpha_1$ 无关，取决于它在 $\alpha_2$ 方向上的系数是否非零。

详细步骤

先说明所用定理：若 $u\alpha_1+v\alpha_2=0$，两边作用 $A-\lambda_1E$，得到

$$v(\lambda_2-\lambda_1)\alpha_2=0.$$

由于特征向量非零且 $\lambda_2\ne\lambda_1$，可得 $v=0$，进而 $u=0$，故 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关。现在由线性运算得到

$$A(\alpha_1+\alpha_2)=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2.$$

设 $k\alpha_1+lA(\alpha_1+\alpha_2)=0$，整理为

$$(k+l\lambda_1)\alpha_1+l\lambda_2\alpha_2=0.$$

若 $\lambda_2\ne0$，由前述无关性得 $l=0$、$k=0$，两个待考察向量无关；若 $\lambda_2=0$，第二个向量就是 $\lambda_1\alpha_1$，必与第一个相关。因此该条件既充分又必要，对应 B。

在基 $\alpha_1,\alpha_2$ 下，两列坐标也可以写为

$$\begin{pmatrix}1&\lambda_1\\0&\lambda_2\end{pmatrix}.$$

这个二阶矩阵的行列式为 $\lambda_2$，非零时两列无关，提供了同一结论的坐标解释。特征值不同还保证在 $\lambda_2=0$ 时 $\lambda_1\ne0$，但即使一个待考察向量是零向量，也只能导致相关，绝不能成为线性无关的例外。

易错点

关键系数是 $\alpha_2$ 方向的 $\lambda_2$，不是 $\lambda_1$。即使 $\lambda_1=0$，只要 $\lambda_2\ne0$，两个向量依然线性无关。

答案：C，即 $\left(20-\tfrac14t_{0.05}(15),\ 20+\tfrac14t_{0.05}(15)\right)$。

解题思路

总体正态、总体方差未知，估计均值时用样本标准差 $S$ 替代 $\sigma$，对应的枢轴量服从 $t$ 分布。这里应同时确定两个数字：自由度是 $n-1$，双侧置信区间把显著性水平 $\alpha=1-0.90=0.10$ 平分到两尾，每尾为 $0.05$。这正是各选项之间的区别。

详细步骤

对来自正态总体的独立同分布样本，记通常的样本方差为

$$S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2.$$

有 $(\overline X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\sim N(0,1)$，$(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$，且两者独立。因此

$$T=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1).$$

按题中记号，$t_p(\nu)$ 是上尾概率为 $p$ 的正分位点。$n=16$ 时自由度为 $15$，且

$$P\{-t_{0.05}(15)<T<t_{0.05}(15)\}=0.90.$$

对这个不等式解出 $\mu$，得到区间 $\overline X\pm t_{0.05}(15)S/\sqrt{16}$。代入观测值 $\overline x=20$、$s=1$，标准误为 $1/4$，故得到答案中的区间，长度单位为厘米。

置信度是取样程序的性质：在反复抽取同容量样本并按同一公式构造区间时，这种随机区间覆盖固定未知均值的比例为百分之九十。观测数据代入后得到的是一个具体区间，中心为样本均值，半宽由标准误和分位点共同决定。总体方差未知且样本不大，不能把这里的分位点直接改成标准正态分位点。

易错点

样本容量 $16$ 不是 $t$ 分布的自由度，应减 $1$。双侧 $90\%$ 置信区间使用 $0.05$ 上尾分位数，不能直接把 $0.10$ 当作单尾概率。

答案：$\tfrac32$。

解题思路

括号内的两个分式都含有与 $1/x$ 同阶的项，分别求极限会遇到发散项相减，不能用“无穷减无穷”直接运算。先通分，把它变成一个分式；分子中一次项会抵消，剩下二阶项，所以至少需要把指数函数展开到二阶。这样既能看出有限极限存在，也能准确找到常数。

详细步骤

当 $x\ne0$ 时，$1-e^{-x}\ne0$，在去掉 $0$ 的邻域内通分合法：

$$\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac1x =\frac{x(1+x)-(1-e^{-x})}{x(1-e^{-x})}.$$

指数函数在 $0$ 附近的二阶泰勒展开为

$$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),\qquad 1-e^{-x}=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

代入分子，得到

$$x+x^2-\left(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right) =\frac32x^2+o(x^2).$$

分母为 $x[x-x^2/2+o(x^2)]=x^2-x^3/2+o(x^3)$。上下同时除以 $x^2$，所求极限为

$$\lim_{x\to0}\frac{\frac32+o(1)}{1-x/2+o(x)}=\frac32.$$

这一展开在 $x\to0^+$ 和 $x\to0^-$ 时都成立，所以求得的是题目要求的双侧极限。分子的一次项完全抵消，二次项 $x^2+x^2/2$ 是最终常数的来源。

记号 $o(x^2)$ 的含义是该余项除以 $x^2$ 后趋于零，所以在最后的商中不影响常数项；分母除以 $x^2$ 后趋于一，保证该商有确定的有限极限。先确定抵消后首个不为零的阶数，再决定展开精度，是处理这类差式极限的关键。

易错点

若只用 $1-e^{-x}\sim x$，在相减的表达式中会丢失决定答案的二阶信息。展开 $e^{-x}$ 时，二次项是正号，因而 $1-e^{-x}$ 的二次项才是负号。