2001年考研数学三真题

答案： $-\dfrac{\alpha}{\beta}$。

解题思路

“K 关于 L 的弹性”表示劳动投入量发生一个很小的相对变化时，资本投入量的相对变化与它的比值。这里产出固定为 $Q=1$，所以先把 $K$ 看成 $L$ 的函数，再使用带符号的弹性公式 $\varepsilon_{K,L}=LK'(L)/K(L)$。

详细步骤

1. 固定产出后，生产函数变为

   $$AL^\alpha K^\beta=1.$$

   在劳动、资本投入量均为正的经济模型中，可以解得

   $$K=A^{-1/\beta}L^{-\alpha/\beta}.$$

2. 关于 $L$ 求导：

   $$K'(L)=-\frac{\alpha}{\beta}A^{-1/\beta} L^{-\alpha/\beta-1}.$$

3. 代入弹性定义，常数因子及幂次相消：

   $$\varepsilon_{K,L} =\frac{L}{K}K' =\frac{L}{A^{-1/\beta}L^{-\alpha/\beta}} \left(-\frac{\alpha}{\beta}A^{-1/\beta}L^{-\alpha/\beta-1}\right) =-\frac{\alpha}{\beta}.$$

4. 也可对固定产出关系取对数，得到 $\ln A+\alpha\ln L+\beta\ln K=0$；微分后有 $\alpha\,\mathrm{d}L/L+\beta\,\mathrm{d}K/K=0$，给出同一结果。

易错点

求弹性时产出必须保持不变，不能把 $K$ 当作独立常量。负号说明劳动投入增加时，为维持相同产出需要减少资本投入；本题没有要求取弹性的绝对值。

答案： $W_t=1.2W_{t-1}+2$，或 $W_t-1.2W_{t-1}=2$。

解题思路

这是把年度增长规则翻译成一阶差分方程的问题。先区分比例增长和固定追加额，并确认工资总额的单位，然后把本年与上一年的工资联系起来。

详细步骤

1. 上一年工资总额是 $W_{t-1}$。增加 $20\%$ 后变成

   $$W_{t-1}+0.2W_{t-1}=1.2W_{t-1}.$$

2. 在这个基础上，再追加 $2$ 百万元。由于 $W_t$ 本来就以百万元为单位，固定追加额在方程中直接写成 $2$，无需再乘以 $10^6$。
3. 因此第 $t$ 年的工资总额为

   $$W_t=1.2W_{t-1}+2.$$

   把上一年项移到左侧，就是一阶常系数非齐次线性差分方程

   $$W_t-1.2W_{t-1}=2.$$

4. 若用年度增量表示，也有 $W_t-W_{t-1}=0.2W_{t-1}+2$：工资增加额由上一年总额的五分之一和固定追加额两部分组成。

易错点

题目说的是“增长之后再追加”，不能写成 $1.2(W_{t-1}+2)$，否则会把追加额也错误地增长 $20\%$。题目未给初始工资，建立递推式即可，不需要编造初值。

答案： $k=-3$。

解题思路

矩阵对角线上是 $k$，其余元素都是 $1$，可以写成 $(k-1)E+J$，其中 $J$ 是全一矩阵。全一矩阵沿全一向量方向的特征值为 $4$，在坐标和为零的三维空间上特征值为 $0$。

详细步骤

1. 记 $u=(1,1,1,1)^T$，则 $Ju=4u$，从而

   $$Au=[(k-1)E+J]u=(k+3)u.$$

   所以 $k+3$ 是一个特征值。
2. 若 $v=(v_1,v_2,v_3,v_4)^T$ 满足 $v_1+\cdots+v_4=0$，则 $Jv=0$，于是 $Av=(k-1)v$。这类向量构成三维空间，因此另外三个特征值均为 $k-1$。
3. $A$ 是实对称矩阵，可以正交对角化，其秩等于对角化后非零特征值的个数。
4. 若 $k=1$，三个 $k-1$ 都为零而 $k+3=4$，秩只有 $1$；若 $k=-3$，只有 $k+3$ 为零，另外三个特征值都为 $-4$，秩恰为 $3$。
5. 其他 $k$ 使四个特征值全部非零，秩为 $4$。故满足条件的只有 $k=-3$。

易错点

行列式为零只能说明秩小于 $4$，还不能区分秩是 $1$ 还是 $3$。本题必须检查零特征值对应的重数及其空间维数。

答案： $\dfrac1{12}$。

解题思路

切比雪夫不等式对任意有限方差的随机变量都成立，但它约束的是相对于数学期望的偏离。先求 $Z=X+Y$ 的期望和方差，再把题中阈值 $6$ 代入。相关系数不为零，求和的方差不能漏掉协方差。

详细步骤

1. 期望具有线性性质，不需要独立性：

   $$E(Z)=E(X)+E(Y)=-2+2=0.$$

   因而题中的 $|X+Y|$ 正好等于 $|Z-E(Z)|$。
2. 由相关系数与协方差的关系，

   $$\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)} =-0.5\sqrt{1\cdot4}=-1.$$

3. 求和的方差为

   $$D(Z)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y) =1+4-2=3.$$

4. 切比雪夫不等式给出

   $$P(|Z-E(Z)|\ge\varepsilon)\le\frac{D(Z)}{\varepsilon^2}.$$

   取 $\varepsilon=6$，得到

   $$P(|X+Y|\ge6)\le\frac3{36}=\frac1{12}.$$

易错点

标准差是方差的平方根，相关系数换算协方差时使用的是标准差的乘积。$1/12$ 是由不等式得到的上界，不能把概率写成恰好等于它。

答案： $F$ 分布，参数为 $(10,5)$，即 $Y\sim F(10,5)$。

解题思路

$F$ 分布由两个相互独立的卡方变量分别除以各自自由度后作比得到。题目中的样本来自均值为零的正态总体，标准化后平方求和就能构造卡方变量；分母的 $2$ 正好对应两个自由度的比例。

详细步骤

1. 令 $Z_i=X_i/0.2$。因为样本独立同分布，$Z_1,\ldots,Z_{15}$ 是相互独立的标准正态变量。
2. 定义

   $$U=\sum_{i=1}^{10}Z_i^2\sim\chi^2(10),\qquad V=\sum_{i=11}^{15}Z_i^2\sim\chi^2(5).$$

   两个和使用不重叠的独立样本，所以 $U,V$ 相互独立。
3. 分子和分母中的 $0.2^2$ 相消：

   $$Y=\frac{0.2^2U}{2\cdot0.2^2V}=\frac{U}{2V}.$$

4. 按 $F$ 分布的定义，

   $$\frac{U/10}{V/5}=\frac{U}{2V}\sim F(10,5).$$

   故题中的 $Y$ 就是这个 $F$ 变量。

易错点

自由度按分子、分母顺序写，不能颠倒为 $(5,10)$。这里使用已知均值 $0$ 下的原始平方和，没有减去样本均值，所以自由度不减 $1$。

答案：B。

解题思路

判断极值最直接的方法是看一阶导数在点的两侧是否变号。题给极限说明 $f'(x)$ 在 $a$ 附近与 $-(x-a)$ 同号，因此左侧导数为正、右侧为负，函数先增后减。

详细步骤

1. 因为 $f'(x)/(x-a)\to-1$，有

   $$f'(x)=(x-a)\left[-1+o(1)\right]\to0.$$

   再由 $f'$ 在 $a$ 连续，得到 $f'(a)=0$。
2. 当 $x$ 足够接近 $a$ 且不等于 $a$ 时，商 $f'(x)/(x-a)$ 为负数。因此若 $x<a$，分母为负，$f'(x)>0$；若 $x>a$，分母为正，$f'(x)<0$。
3. $f$ 在 $a$ 左侧递增、右侧递减，所以 $a$ 是严格极大值点，选择 B。
4. 也可以从二阶导数的定义看：

   $$f''(a)=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}=-1<0.$$

   它与一阶导数变号结论一致。

易错点

$f'(a)=0$ 单独并不能判定极值；真正起作用的是两侧导数的符号或二阶导数的负值。负的二阶导数对应极大值，不能误选极小值。

答案：D。

解题思路

变上限积分可以把有界可积函数的跳跃“累积”成连续函数：在很短的区间上增加的积分很小。本题也可直接写出 $g(x)$ 在两段上的表达式，检查它们在 $x=1$ 处是否接上。

详细步骤

1. 当 $0\le x\le1$ 时，

   $$g(x)=\int_0^x\frac{u^2+1}{2}\,\mathrm{d}u =\frac{x^3}{6}+\frac{x}{2}.$$

   特别地，$g(1)=2/3$。
2. 当 $1<x\le2$ 时，把积分拆成两段：

   $$g(x)=\int_0^1\frac{u^2+1}{2}\,\mathrm{d}u +\int_1^x\frac{u-1}{3}\,\mathrm{d}u =\frac23+\frac{(x-1)^2}{6}.$$

3. 两段函数都连续，而且在 $x\to1^-$、$x\to1^+$ 时都趋于 $2/3$，所以 $g$ 在整个 $(0,2)$ 内连续。分界点 $f(1)$ 若按任一支取值，都不改变定积分。
4. 也可用一般估计说明：若 $|f|\le M$，则

   $$|g(x+h)-g(x)|=\left|\int_x^{x+h}f(u)\,\mathrm{d}u\right| \le M|h|\to0.$$

   $f$ 本身在分界点跳跃并不妨碍这一结论。

易错点

不能认为被积函数不连续，变上限积分就一定不连续。反过来，本题 $g$ 在 $1$ 处左右导数不同，说明连续也不等于可导。

答案：C。

解题思路

$B$ 是把 $A$ 的四列顺序完全反转得到的。右乘初等矩阵执行列变换；先交换第 $1,4$ 列，再交换第 $2,3$ 列就完成反转。求乘积的逆时，矩阵顺序要倒过来。

详细步骤

1. $P_1$ 是将单位矩阵第 $1,4$ 列交换得到的矩阵。因此 $AP_1$ 把 $A$ 的第 $1,4$ 列交换，列顺序成为 $4,2,3,1$。
2. 再右乘 $P_2$，交换第 $2,3$ 列，列顺序成为 $4,3,2,1$，正好是 $B$。所以

   $$B=AP_1P_2.$$

3. 交换一次再交换一次会恢复原顺序，故

   $$P_1^{-1}=P_1,\qquad P_2^{-1}=P_2.$$

   使用乘积求逆公式得到

   $$B^{-1}=P_2^{-1}P_1^{-1}A^{-1}=P_2P_1A^{-1}.$$

4. 本题两次交换作用于不同的列对，执行顺序不影响结果，所以 $P_2P_1=P_1P_2$。因此

   $$B^{-1}=P_1P_2A^{-1},$$

   对应选项 C。

易错点

左乘初等矩阵执行行变换，右乘才执行列变换。一般矩阵不能交换乘法顺序；这里 $P_1,P_2$ 可交换，是因为两次交换互不干扰，并非所有初等矩阵都可交换。

答案：D。

解题思路

把题中的分块矩阵看成一个 $(n+1)$ 阶矩阵。齐次方程存在非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数个数。题设已经直接给出了这个秩。

详细步骤

1. 记

   $$M=\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{pmatrix}.$$

   方程 $M(X,y)^T=0$ 一共有 $n+1$ 个未知数，而

   $$r(M)=r(A)\le n<n+1.$$

2. 根据秩与解空间维数的关系，这个齐次方程的解空间维数为

   $$(n+1)-r(M)\ge1.$$

   因此必有非零解，选择 D。
3. 同时可以理解为何不能固定判断 $AX=\alpha$ 的解数：若 $A=E$、$\alpha=0$，题设成立，但 $AX=\alpha$ 只有一个解；若 $A=0$、$\alpha=0$，题设也成立，而 $AX=\alpha$ 有无穷多解。因此 A、B 都不是必然结论。
4. 选项 C 与已经证明的非零解存在性直接矛盾。

易错点

分块方程的未知数个数是 $n+1$，不能仍按 $n$ 元方程判断。“有非零解”并不要求每个分量都非零，只要整体解向量不是零向量即可。

答案：A，即相关系数为 $-1$。

解题思路

正面次数与反面次数的总和永远为 $n$，所以两者存在精确的反向线性关系。计算相关系数时仍要确认方差不为零，再使用协方差与方差的公式。

详细步骤

1. 每一次投掷只可能产生正面或反面，因此

   $$X+Y=n,\qquad Y=n-X.$$

2. 在非退化投掷模型下，设正面概率为 $p$，其中 $0<p<1$、$n\ge1$。则 $X$ 的方差为 $np(1-p)>0$。
3. 常数不影响方差，变量乘以 $-1$ 时方差不变，故

   $$D(Y)=D(n-X)=D(X).$$

   协方差则满足

   $$\operatorname{Cov}(X,Y) =\operatorname{Cov}(X,n-X)=-D(X).$$

4. 代入相关系数定义：

   $$\rho_{XY} =\frac{-D(X)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} =\frac{-D(X)}{D(X)}=-1.$$

易错点

正面与反面的次数不是独立变量，它们的总和被固定了。若投掷是退化的、方差为零，则相关系数没有定义；常规硬币模型不存在这个问题。

答案：

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =f_x-\frac{y}{x}f_y+ \left(1-\frac{(x-z)e^x}{\sin(x-z)}\right)f_z.$$

各偏导数均在 $(x,y(x),z(x))$ 处取值，公式适用于题中两个隐函数可微的点。

解题思路

虽然 $f$ 有三个自变量，它们都随着 $x$ 变化，所以需要全导数的链式法则。先分别对确定 $y,z$ 的隐式关系求导，求出 $y'$ 和 $z'$，再代入 $\mathrm{d}u/\mathrm{d}x=f_x+f_yy'+f_zz'$。

详细步骤

1. 对 $e^{xy}-xy=2$ 求导。内层 $xy$ 的导数是 $y+xy'$，故

   $$e^{xy}(y+xy')-(y+xy')=0,$$

   即 $(e^{xy}-1)(y+xy')=0$。
2. 如果 $xy=0$，左侧原关系为 $1=2$，不成立，因此 $xy\ne0$，也有 $e^{xy}-1\ne0$。可以约去这个因子，得到

   $$y'=-\frac{y}{x}.$$

3. 记 $w=x-z(x)$。对变上限积分使用链式法则：

   $$e^x=\frac{\sin w}{w}\,w' =\frac{\sin(x-z)}{x-z}(1-z').$$

   这里被积函数在 $t=0$ 处可连续延拓为 $1$。
4. 原等式的左边为正，而 $w=0$ 会使积分为零，故 $w\ne0$。在可微隐函数分支上，若 $\sin w=0$，上面的求导等式又会导致 $e^x=0$，不可能。因此可解得

   $$z'=1-\frac{(x-z)e^x}{\sin(x-z)}.$$

5. 最后对 $u=f(x,y(x),z(x))$ 求全导数：

   $$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f_x+f_yy'+f_zz',$$

   代入两个导数即得答案。

易错点

$f_x$ 是只改变第一个自变量的偏导数，$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x$ 则必须计入 $y,z$ 的变化。求导后约去一个因子前，要说明它为何不为零。

答案： $c=\dfrac12$。

解题思路

$f(x)-f(x-1)$ 是长度为 $1$ 的区间上的函数增量，可用拉格朗日中值定理把它转化为一个导数值。另一侧是幂指型极限，取对数后利用 $\ln(1+t)\sim t$ 求解。

详细步骤

1. 在区间 $[x-1,x]$ 上使用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_x\in(x-1,x)$，使

   $$f(x)-f(x-1)=f'(\xi_x)[x-(x-1)]=f'(\xi_x).$$

2. 当 $x\to+\infty$ 时，$\xi_x\to+\infty$。由题设导数极限得

   $$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-f(x-1)]=e.$$

   若把无符号无穷理解为两端，负无穷方向使用同样的夹在两端点之间的论证也成立。
3. 对另一个极限，写成

   $$L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2c}{x-c}\right)^x.$$

   对充分大的 $|x|$，底数为正，可以取对数。设 $t=2c/(x-c)\to0$，则

   $$\lim x\ln(1+t)=\lim xt=2c.$$

   这里 $c=0$ 时也直接成立。
4. 因此 $L=e^{2c}$。由两个极限相等，有 $e^{2c}=e$，指数函数单调，故 $2c=1$、$c=1/2$。

易错点

中值点 $\xi_x$ 随 $x$ 改变，需要说明它也趋于无穷。幂指型极限不能把“底数趋于 $1$”直接当成“整个表达式趋于 $1$”。

答案： $-\dfrac23$。

解题思路

先画出三条直线围成的三角形。若先对 $x$ 积分，指数中的 $x^2/2$ 导数正好是 $x$，可以直接积分；外层再利用奇偶性处理剩余项。

详细步骤

1. 三个顶点是 $(-1,-1)$、$(1,-1)$、$(1,1)$。用水平切片表示区域：

   $$-1\le y\le1,\qquad y\le x\le1.$$

2. 将积分拆成两部分：

   $$I=\int_{-1}^1\int_y^1 y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\int_{-1}^1\int_y^1 xy e^{(x^2+y^2)/2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =I_1+I_2.$$

3. 第一部分为

   $$I_1=\int_{-1}^1 y(1-y)\,\mathrm{d}y =\int_{-1}^1y\,\mathrm{d}y-\int_{-1}^1y^2\,\mathrm{d}y =0-\frac23=-\frac23.$$

4. 第二部分把 $y$ 视为常数，利用

   $$\frac{\partial}{\partial x}e^{(x^2+y^2)/2} =xe^{(x^2+y^2)/2},$$

   得到

   $$I_2=\int_{-1}^1y\left[e^{(1+y^2)/2}-e^{y^2}\right]\,\mathrm{d}y.$$

   方括号内是 $y$ 的偶函数，乘上 $y$ 后为奇函数，因此在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为零。
5. 故 $I=I_1+I_2=-2/3$。

易错点

三角形区域本身不关于 $x$ 轴对称，不能在积分开始时就认为所有含 $y$ 的项都为零。这里的奇偶性是在完成内层积分之后才使用的。

答案： $q=3$、$p=-\dfrac45$ 时面积最大，$S_{\max}=\dfrac{225}{32}$。

解题思路

相切说明抛物线与直线的交点方程有重根，可以把两个参数之间的关系写出来。再把面积表示成一个参数的函数，求它的全局最大值。第一象限相切还会给出参数的允许范围。

详细步骤

1. 与直线 $y=5-x$ 联立，得到

   $$px^2+(q+1)x-5=0.$$

   相切对应判别式为零：

   $$(q+1)^2+20p=0,\qquad p=-\frac{(q+1)^2}{20}.$$

2. 切点横坐标为 $x_0=10/(q+1)>0$，纵坐标为

   $$y_0=5-x_0=\frac{5(q-1)}{q+1}.$$

   因为切点在第一象限，必须有 $q>1$。
3. 抛物线与 $x$ 轴的交点为 $0$ 和 $-q/p>0$。两交点之间函数为非负，所以面积为

   $$S=\int_0^{-q/p}(px^2+qx)\,\mathrm{d}x =\frac{q^3}{6p^2} =\frac{200q^3}{3(q+1)^4},\qquad q>1.$$

4. 求导：

   $$S'(q)=\frac{200}{3} \frac{3q^2(q+1)-4q^3}{(q+1)^5} =\frac{200q^2(3-q)}{3(q+1)^5}.$$

   当 $1<q<3$ 时为正，当 $q>3$ 时为负，因此 $q=3$ 是允许范围内的全局最大值点。
5. 代回得 $p=-(3+1)^2/20=-4/5$，以及

   $$S_{\max}=\frac{200\cdot27}{3\cdot4^4}=\frac{225}{32}.$$

易错点

除了判别式为零，还要检查切点确实在第一象限。求出驻点后，应结合参数范围和导数变号判断全局最大值，而不能只解 $S'(q)=0$。

结论： 存在 $\xi\in(0,1)$，使 $f'(\xi)=(1-\xi^{-1})f(\xi)$。

解题思路

把目标等式移项，得到 $\xi f'(\xi)+(1-\xi)f(\xi)=0$。这一组合恰好出现在 $H(x)=xe^{-x}f(x)$ 的导数中。题给积分条件则可通过积分中值定理转化为 $H$ 在两个不同点取同值，随后使用罗尔定理。

详细步骤

1. 令 $G(x)=xe^{1-x}f(x)$。由于 $f$ 连续，$G$ 在 $[0,1/k]$ 上连续。积分中值定理保证存在 $\eta\in[0,1/k]$，使

   $$\int_0^{1/k}G(x)\,\mathrm{d}x=\frac1kG(\eta).$$

2. 代入题设并约去 $k$，得到

   $$f(1)=\eta e^{1-\eta}f(\eta).$$

   两边乘 $e^{-1}$，就是

   $$H(1)=H(\eta),\qquad H(x)=xe^{-x}f(x).$$

3. 因为 $k>1$，有 $0\le\eta\le1/k<1$。$H$ 在 $[\eta,1]$ 连续、在 $(\eta,1)$ 可导，因此存在 $\xi\in(\eta,1)\subset(0,1)$，满足 $H'(\xi)=0$。
4. 用乘积求导展开：

   $$H'(x)=e^{-x}\left[xf'(x)+(1-x)f(x)\right].$$

   指数因子不为零，所以

   $$\xi f'(\xi)+(1-\xi)f(\xi)=0.$$

5. 由于 $\xi>0$，可以除以 $\xi$，得到

   $$f'(\xi)=\frac{\xi-1}{\xi}f(\xi) =(1-\xi^{-1})f(\xi).$$

易错点

中值点 $\eta$ 可能是 $0$，但罗尔定理得到的 $\xi$ 严格位于 $(\eta,1)$，所以除以 $\xi$ 合法。不必也不能随意除以 $f(\xi)$，因为它可能为零。

答案： $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)=-e^x\ln(1-x)$，收敛域为 $[-1,1)$。

解题思路

先把每个 $f_n$ 看成一阶线性微分方程的解，利用积分因子求出它的显式表达式。再把公共因子 $e^x$ 提出，剩余级数就是对数函数的幂级数；最后单独检查两个端点。

详细步骤

1. 方程写成 $f_n'-f_n=x^{n-1}e^x$。乘上积分因子 $e^{-x}$：

   $$(e^{-x}f_n(x))'=x^{n-1}.$$

2. 对 $x$ 积分得

   $$e^{-x}f_n(x)=\frac{x^n}{n}+C_n.$$

   初值 $f_n(1)=e/n$ 给出 $1/n=1/n+C_n$，所以 $C_n=0$。
3. 因而 $f_n(x)=e^xx^n/n$，于是

   $$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) =e^x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}.$$

   当 $|x|<1$ 时，利用 $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n=-\ln(1-x)$，得到和函数。
4. 幂级数的收敛半径为 $1$。在 $x=1$ 处，级数变为 $e\sum1/n$，发散；在 $x=-1$ 处，变为 $e^{-1}\sum(-1)^n/n$，由交错级数判别法收敛，其和为 $-e^{-1}\ln2$，与答案公式一致。
5. 当 $|x|>1$ 时，通项 $e^xx^n/n$ 不趋于零，级数必发散。因此收敛域为 $[-1,1)$。

易错点

收敛半径只决定开区间内外的情况，两个端点必须另行判断。每个微分方程的积分常数都要用对应初值确定，不能把所有 $C_n$ 看成同一个未知常数。