2022年考研数学三真题

答案：C。

解题思路

等价无穷小由比值趋于 $1$ 定义，高阶无穷小由比值趋于零定义。逐个把命题写成比值极限即可判断。平方可能消去符号，因此从平方后的等价关系反推原等价关系，必须特别检查正负号。

详细步骤

①由 $\alpha/\beta\to1$，连续函数运算给出

$$\frac{\alpha^2}{\beta^2}=\left(\frac\alpha\beta\right)^2\to1,$$

所以成立。②反向推理不成立：取 $\alpha=x$、$\beta=-x$，两者对非零 $x$ 均非零并趋于零，平方完全相等，但 $\alpha/\beta=-1$，不能等价。

③由 $\alpha/\beta\to1$，其倒数也趋于 $1$，因此

$$\frac{\alpha-\beta}{\alpha}=1-\frac\beta\alpha\to0.$$

这正是 $\alpha-\beta=o(\alpha)$ 的定义。④由这个高阶关系，反过来有 $\beta/\alpha\to1$，故 $\alpha/\beta\to1$，也成立。于是正确序号为①③④，选 C。

这两种记号的关系可以理解为：两个无穷小的差相对于其中一个可以忽略，意味着它们的主要部分相同。题目给出非零条件，保证比值在邻近但不等于极限点的位置有意义。反例不需要复杂函数，符号相反的同一无穷小就足以否定②。

平方保留大小却会掩盖符号，正是两个方向结论不同的原因。

易错点

比值平方趋于 $1$ 不能保证比值趋于正的 $1$；写高阶关系时分母应是指定的比较量。

答案：A。

解题思路

判断最大、最小值是否存在，不一定要准确找出它们的下标。先求数列极限，再找出一个严格低于极限的前项和一个严格高于极限的前项，就能把两种极值都限制在有限个前项中。

详细步骤

将 $n^{1/n}$ 写为指数形式：

$$n^{1/n}=e^{(\ln n)/n}\longrightarrow1, \qquad \frac{(-1)^n}{n}\longrightarrow0.$$

因此 $a_n\to1$。前两项为

$$a_1=2>1,\qquad a_2=\sqrt2-\frac12<1.$$

后一不等式由 $\sqrt2<3/2$ 得到。取正数

$$\varepsilon<\min\{1-a_2,a_1-1\}.$$

按收敛定义，存在 $N\ge2$，当 $n>N$ 时 $|a_n-1|<\varepsilon$，从而所有尾项满足 $a_2<a_n<a_1$。

有限集合 $a_1,\ldots,a_N$ 一定有最大值 $M$ 和最小值 $m$。由于它包含 $a_1,a_2$，有 $M\ge a_1$、$m\le a_2$，而所有尾项都严格夹在这两个前项之间，所以它们不能超过 $M$ 或低于 $m$。因此整个数列同时取得最大值和最小值，选 A。

这个证明没有假设数列单调。仅知道数列收敛只能保证有界，不能保证上下界被某项取得；本题两项位于极限两侧的信息是关键。

最大值是某个实际前项，而不是只作为上确界存在的数；最小值同理。构造尾部范围时先选定两侧前项，再按极限定义缩小误差，能够避免追踪每一项的大小变化。

易错点

“有界”不等于“有最大最小值”；极限值 $1$ 也不必是数列的一项。

答案：C。

解题思路

$F$ 中 $x,y$ 只通过差 $u=x-y$ 出现，先把它视为一个单变量复合函数。积分上限和被积函数都含 $u$，求导时需要同时处理，但上限项中因子 $u-t$ 在 $t=u$ 处恰好为零。

详细步骤

令

$$H(u)=\int_0^u(u-t)f(t)\,\mathrm dt =u\int_0^uf(t)\,\mathrm dt-\int_0^ut f(t)\,\mathrm dt.$$

$f$ 连续，两个变上限积分都可求导，乘积求导得到

$$H'(u)=\int_0^uf(t)\,\mathrm dt+uf(u)-uf(u) =\int_0^uf(t)\,\mathrm dt, \qquad H''(u)=f(u).$$

于是 $F(x,y)=H(x-y)$。由链式法则及 $u_x=1,u_y=-1$，

$$F_x=H'(u),\qquad F_y=-H'(u).$$

再求纯二阶偏导：

$$F_{xx}=H''(u)=f(x-y),\qquad F_{yy}=(-1)H''(u)(-1)=f(x-y).$$

所以一阶偏导互为相反数，两个纯二阶偏导相等，选 C。对 $y$ 连续求两次导数时，第一次的负号与第二次由内函数产生的负号相乘变为正号。上述公式对于 $u<0$ 也成立，定积分的有向上下限规则已包含负方向积分，无须另行分段。

这里纯二阶偏导与混合偏导也有区别：若对一阶的 $F_x$ 再求 $y$ 导数，会得到 $F_{xy}=-f(x-y)$。题目比较的是两次都关于同一个变量的偏导，故两个负号会相乘。先命名单变量函数再套链式法则，能够保持各个符号的来源清楚。

易错点

不要漏掉积分外乘子 $u$ 的导数；二阶偏导应继续使用链式法则，不能把第一阶的负号原样保留。

答案：A，即 $I_1<I_2<I_3$。

解题思路

三个积分不需要分别算出数值。它们在同一区间积分，比较被积函数的大小即可。先比较相同分母的前两项，再用简单函数 $x$ 作为中间量比较第二、第三项。

详细步骤

当 $0<x<1$，利用

$$\ln(1+x)=\int_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t},$$

且 $1/2<1/(1+t)<1$ 在积分区间内部成立，得到

$$\frac x2<\ln(1+x)<x.$$

因 $1+\cos x>0$，同除这个正数不改变不等号方向，因此

$$\frac{x}{2(1+\cos x)}<\frac{\ln(1+x)}{1+\cos x}.$$

又在 $0<x<1$ 上 $\cos x>0$、$\sin x<1$，于是

$$\frac{\ln(1+x)}{1+\cos x}<\ln(1+x)<x <\frac{2x}{1+\sin x}.$$

这证明三个被积函数在整个开区间严格依次增加。它们连续且分母都不为零，积分后严格不等式仍成立，得到 $I_1<I_2<I_3$。

严格性不依赖端点：即使 $x=0$ 时三个被积函数都等于零，开区间上的差始终为正，其积分仍为正。选取中间量 $x$ 的理由是对数小于 $x$，而第三项中分母小于 $2$，恰好能把大小关系连接起来。

比较积分的本质是比较同一小区间上累积的贡献。若某个连续函数差在开区间每处都为正，它的积分必为正，所以此处得到严格小于而非仅小于等于。

易错点

不能仅凭分母大小比较分子也不同的两项；对不等式除以分母前必须确认其为正。

答案：B。

解题思路

特征值对应相似关系。题中三个特征值互不相同，会产生三个线性无关特征向量，恰好组成三阶矩阵的特征向量基，因此可对角化。普通等价、合同和正交相似分别是不同要求，不能混同。

详细步骤

若 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$，分别选择非零特征向量 $p_1,p_2,p_3$。不同特征值对应的特征向量线性无关，所以 $P=(p_1,p_2,p_3)$ 可逆，并且

$$AP=P\Lambda,\qquad A=P\Lambda P^{-1}.$$

反过来，若 B 的等式成立，相似矩阵有相同特征多项式，$A$ 与 $\Lambda$ 的特征值相同。因此 B 既充分又必要。

A 只要求等价，不能保证特征值：$A=2\Lambda$ 可取 $P=2I,Q=I$，却有特征值 $2,-2,0$。D 同样不能保证指定数值，取 $P=2I$ 会得到 $A=4\Lambda$。

C 要求正交对角化，由 $Q^{-1}=Q^{\mathrm T}$ 可知这样的 $A$ 必为对称矩阵。但是一般具有三个不同特征值的矩阵不一定对称，例如

$$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

已具有指定特征值，却不是对称矩阵，所以 C 不是必要条件。三个特征值互异在这里保证一般相似对角化，不能把“相似”擅自加强为“正交相似”。

易错点

等价只控制秩等信息，合同也不保持特征值数值；不同特征值保证可对角化，却不保证能选正交特征向量。

答案：D。

解题思路

系数矩阵每一行都是 $(1,t,t^2)$，对应 $t=1,a,b$，是范德蒙德结构。参数不同则行列式非零，唯一解；参数重复则有两行完全相同，检查它们的右端常数是否也相同即可。

详细步骤

范德蒙德行列式给出

$$\det A=(a-1)(b-1)(b-a).$$

若 $1,a,b$ 两两不同，三个因子都非零，$A$ 可逆，所以 $Ax=c$ 有唯一解。

若行列式为零，至少有下列一种重复：$a=1$、$b=1$、$a=b$。分别检查对应的两行方程：

• $a=1$ 时第一、第二行系数同为 $(1,1,1)$，但右端分别为 $1,2$，矛盾。
• $b=1$ 时第一、第三行系数相同，右端分别为 $1,4$，矛盾。
• $a=b$ 时第二、第三行系数相同，右端分别为 $2,4$，矛盾。

即使三者同时重复，也包含上述矛盾，所以奇异情形一律无解。于是解的情况只可能为“有唯一解或无解”，选 D。例如 $a=2,b=3$ 可取得唯一解情形，$a=1,b=2$ 可取得无解情形，所以不能选择永远有解或永远无解的表述。

一般奇异矩阵可能产生无穷多解，但本题重复行所对应的右端不一致，排除了这个可能。结论来自系数和右端一起比较，不能只由行列式为零直接推出。

易错点

行列式为零只说明不能有唯一解；是否无解还应检查增广矩阵或相同左端的右端是否冲突。

答案：C，即 $\mathbb R\setminus\{-1,-2\}$。

解题思路

向量组等价表示它们张成同一个空间。两个三向量组若都满秩，就都张成 $\mathbb R^3$；行列式为零的特殊参数则须单独检查，不能一概排除。

详细步骤

将两组向量分别按列排成矩阵。第一组矩阵对角元素为 $\lambda$，其余为 $1$，特征值为 $\lambda+2,\lambda-1,\lambda-1$，所以行列式为 $(\lambda-1)^2(\lambda+2)$。第二组按第三行减第二行，再展开可得

$$\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\lambda&\lambda\\1&1&\lambda^2\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\lambda&\lambda\\0&1-\lambda&\lambda^2-\lambda\end{vmatrix} =(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2.$$

当 $\lambda\notin\{-2,-1,1\}$ 时两者行列式非零，均张成整个三维空间，故等价。

当 $\lambda=1$，四个向量都等于 $(1,1,1)^{\mathrm T}$，两组张成同一条直线，也等价。当 $\lambda=-2$，第一组行列式为零而第二组非零，张成空间维数不同，不能等价。当 $\lambda=-1$，第一组非零而第二组为零，也不能等价。

因此只需排除 $-1,-2$，保留 $1$，选 C。即使两个向量组秩相同，也还需确认它们张成空间相同；本题 $\lambda=1$ 通过所有向量相同直接确认了这一点。

等价关系考察的是向量线性组合能到达哪些位置，因此特殊参数的低维空间也完全可能相同。

易错点

不能因 $\lambda=1$ 使行列式为零就排除它；“向量组等价”不是逐个对应向量相等，而是张成空间相同。

答案：D，即 $10$。

解题思路

线性组合的方差需考虑每个系数的平方和协方差交叉项。加上常数不改变方差。不相关只表示协方差为零，本题已经足以使用方差相加，完全不需要进一步假设独立。

详细步骤

由 $X\sim N(0,4)$，正态分布第二个参数为方差，故 $DX=4$。由 $Y\sim B(3,1/3)$，二项分布的方差公式为 $np(1-p)$，所以

$$DY=3\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac23.$$

一般的线性组合方差公式是

$$D(aX+bY+c)=a^2DX+b^2DY+2ab\operatorname{Cov}(X,Y).$$

可从中心化表达式 $a(X-EX)+b(Y-EY)$ 的平方展开得到：两个平方产生 $a^2DX,b^2DY$，交叉项产生协方差。常数 $c$ 在中心化时被消去。

由于不相关，$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$。代入 $a=1,b=-3,c=1$，得到

$$D(X-3Y+1)=4+(-3)^2\cdot\frac23+2\cdot1\cdot(-3)\cdot0 =4+6=10.$$

因此选 D。负系数并不使方差贡献为负，因为进入方差的是系数平方；方差描述波动大小，对线性组合中的符号影响只通过交叉协方差出现。

虽然 $Y$ 是离散变量而 $X$ 是连续变量，方差线性组合公式仍一样适用，因为两者都有有限二阶矩。不同分布类型并不影响协方差公式的使用，真正决定交叉项消失的是已知的不相关条件。

易错点

不能将 $D(-3Y)$ 写成 $-3DY$；常数 $1$ 的方差为零，不应在最后再加 $1$。

答案：B，即 $1/6$。

解题思路

平均的是 $X_i^2$，所以应用大数定律的对象应是新变量 $Z_i=X_i^2$，极限是它的期望 $EX_i^2$，不是 $EX_i$ 的平方。密度关于原点对称，可把积分化成正半轴上的两倍。

详细步骤

由原样本独立同分布，分别取平方后的 $Z_1,\ldots,Z_n$ 仍独立同分布。因 $|X_i|<1$ 几乎处处成立，$0\le Z_i<1$，其期望有限，满足独立同分布大数定律的条件。因此

$$\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2\xrightarrow{P}E(X_1^2).$$

按连续随机变量函数的期望公式，

$$\begin{aligned} E(X_1^2)&=\int_{-1}^1x^2(1-|x|)\,\mathrm dx\\ &=2\int_0^1x^2(1-x)\,\mathrm dx\\ &=2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 =2\left(\frac13-\frac14\right)=\frac16. \end{aligned}$$

所以选 B。这里使用的是偶函数的对称积分性质：$x^2$ 和密度均为偶函数，乘积也是偶函数。密度的对称性同时使 $EX_1=0$，但平方期望仍为正，因为正负样本在平方后都贡献非负数。依概率收敛描述样本平均偏离该常数超过固定误差的概率趋于零，而非每个样本值都趋于这个常数。

这一极限也称为总体二阶原点矩，样本中的平方平均是在估计它，而不是在估计均值。

易错点

$E(X^2)$ 一般不等于 $(EX)^2$；平方之后应用大数定律，需要明确新变量的独立同分布和可积性。

答案：B，即 $-0.36$。

解题思路

先用总概率为 $1$ 和指定两个事件独立求参数 $a,b$，再按联合分布逐项计算 $EX,EY,E(XY)$。两个事件独立并不意味着随机变量 $X,Y$ 独立，因此不能把 $E(XY)$ 直接替换成 $EX\,EY$。

详细步骤

表中四个已知概率都为 $0.1$，归一化给出 $a+b=0.6$。记 $U=\{\max(X,Y)=2\}$、$V=\{\min(X,Y)=1\}$。$U$ 包含 $(-1,2),(1,2)$，所以 $P(U)=b+0.1$；$V$ 包含 $(1,1),(1,2)$，所以 $P(V)=0.2$；交事件只有 $(1,2)$，概率为 $0.1$。

由独立性，

$$0.1=(b+0.1)\times0.2, \qquad b=0.4,\quad a=0.2.$$

两行概率分别为 $0.6,0.4$，故 $EX=-1\times0.6+1\times0.4=-0.2$。三列概率分别为 $0.3,0.2,0.5$，故 $EY=0\times0.3+1\times0.2+2\times0.5=1.2$。

乘积期望需在每个格子计算 $xy$，其中 $y=0$ 的格子贡献零：

$$E(XY)=(-1)\times1\times0.1+(-1)\times2\times0.4 +1\times1\times0.1+1\times2\times0.1=-0.6.$$

最后

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-EX\,EY =-0.6-(-0.2)(1.2)=-0.36.$$

读表时固定一行求和得到 $X$ 的边缘概率，固定一列求和得到 $Y$ 的边缘概率；乘积期望则必须保留行列配对的信息。若把所有行列概率拆开相乘，就额外引入了变量独立假设。两个事件的独立方程之所以有用，是因为其交集只包含一个已知概率格子，从而先确定未知的 $b$，再用归一化确定 $a$。得到的每个格子概率非负且总和为一，也满足联合分布的合法性。

易错点

$\min(X,Y)=1$ 不包括 $(-1,1)$；事件独立性只对题目指定的两个事件成立。

答案：$\sqrt e$。

解题思路

底数趋于 $1$、指数无界，是幂指函数的未定式。底数在零点附近始终为正，先取对数，把幂变成乘积；若对数极限存在，再用指数函数连续性还原原极限。

详细步骤

令 $L(x)=[(1+e^x)/2]^{\cot x}$，对足够小的非零 $x$ 有

$$\ln L(x)=\cot x\,\ln\frac{1+e^x}{2}.$$

由 $e^x=1+x+o(x)$，得到

$$\frac{1+e^x}{2}=1+\frac x2+o(x).$$

再用 $\ln(1+u)=u+o(u)$，有 $\ln[(1+e^x)/2]=x/2+o(x)$。同时 $\sin x/x\to1$、$\cos x\to1$，所以 $x\cot x\to1$。于是

$$\ln L(x)=(x\cot x)\frac{\ln[(1+e^x)/2]}x \longrightarrow1\times\frac12=\frac12.$$

指数函数连续，故 $L(x)=e^{\ln L(x)}\to e^{1/2}=\sqrt e$。这个分解对左右两侧均成立：虽然 $\cot x$ 的符号随 $x$ 改变，对数项也相应改变符号，乘积具有同一个有限极限。直接把底数代成 $1$ 再写 $1$ 的无穷次幂，没有保留二者趋近速度的信息，不能求出结果。

底数的线性偏离系数为 $1/2$，指数的主导系数为 $1$，二者相乘决定最后指数中的 $1/2$。这解释了为什么结果是 $\sqrt e$ 而不是 $e$：底数中的除以二不能在取极限时丢掉，它会直接改变对数的一阶项。

还原极限使用指数函数在有限点处的连续性，整个过程没有对未定式作直接数值运算。

易错点

未定式不能直接代值；取对数必须确认底数为正，求出的是对数极限而非原极限。

答案：$\ln3-\pi/\sqrt3$。

解题思路

分母是二次式，先把分子拆为分母导数加常数。导数部分产生对数，常数部分将分母配方后产生反正切。积分区间内分母始终为正，因此计算普通定积分即可。

详细步骤

记 $Q=x^2+2x+4=(x+1)^2+3$，有 $Q'=2x+2$，而 $2x-4=(2x+2)-6$。故

$$I=\int_0^2\frac{2x+2}{Q}\,\mathrm dx-6\int_0^2\frac{\mathrm dx}{(x+1)^2+3}.$$

第一项原函数为 $\ln Q$。第二项令 $u=(x+1)/\sqrt3$，则 $\mathrm dx=\sqrt3\,\mathrm du$、分母为 $3(1+u^2)$，所以一个原函数为 $(1/\sqrt3)\arctan[(x+1)/\sqrt3]$。于是

$$I=\left[\ln(x^2+2x+4)-2\sqrt3\arctan\frac{x+1}{\sqrt3}\right]_0^2.$$

上限分母值为 $12$，下限为 $4$，对数贡献 $\ln3$。反正切的两个输入分别为 $\sqrt3$、$1/\sqrt3$，对应角度 $\pi/3$、$\pi/6$，所以贡献为

$$-2\sqrt3\left(\frac\pi3-\frac\pi6\right)=-\frac\pi{\sqrt3}.$$

合并即得结果。被积函数在 $[0,2)$ 为负，答案也是负数，与原积分符号一致，可用来检查运算。

这里两部分是同一个有限区间上的正常积分，分拆没有反常积分问题。用分母导数拆分分子时，先写出导数 $2x+2$，再比较原分子 $2x-4$，它们相差 $6$；若凭印象把常数写成 $4$，会使反正切项系数错误。最终将两个端点分别完整代入原函数，能够避免只代入分母或只代入换元上限的疏漏。

易错点

配方后的常数为 $3$，不是 $4$；换元的 $1/\sqrt3$ 系数和上限减下限都不能省略。

答案：$0$。

解题思路

直接求三次导数容易产生大量乘积项。函数是光滑的，并在 $2\pi$ 附近具有偶对称性；偶函数在对称中心的奇数阶导数为零。先平移坐标，将需要求导的位置移到零点，再证明偶性。

详细步骤

令 $h=x-2\pi$，定义 $\phi(h)=f(2\pi+h)$。由三角函数周期性，$\sin(2\pi+h)=\sin h$，所以

$$\phi(h)=e^{\sin h}+e^{-\sin h}.$$

由于 $\sin(-h)=-\sin h$，两项在 $h$ 变号后交换位置，因此 $\phi(-h)=\phi(h)$。指数和正弦均光滑，允许对这个恒等式求三次导数：

$$-\phi'(-h)=\phi'(h),\qquad \phi''(-h)=\phi''(h),\qquad -\phi'''(-h)=\phi'''(h).$$

令 $h=0$，得到 $-\phi'''(0)=\phi'''(0)$，故 $\phi'''(0)=0$。平移变量的导数因子为 $1$，所以 $f'''(2\pi)=\phi'''(0)=0$。

也可从零点展开看出这一点：两指数相加时所有关于 $\sin h$ 的奇次幂抵消，得到 $2+\sin^2h+O(h^4)=2+h^2+O(h^4)$，没有三次项。对称性证明则避免了逐次展开的运算，并明确说明为什么三阶导数必为零。

平移后仍以原变量方向求导，没有缩放导致的额外系数。两个指数项互相交换，也明确保证了偶性。

奇数阶导数的正负对称关系在零点迫使其值等于自身的相反数。

易错点

偶性必须围绕所求位置 $2\pi$ 判断；结论适用于奇数阶导数，不表示二阶导数也为零。

答案：$(e-1)^2$。

解题思路

内层积分中 $x$ 固定，$f(x)$ 可以提出。$f(y-x)$ 只是函数沿 $y$ 轴的平移，对整个实数轴积分时总面积不变。换元后可以把二重积分化为两个相同的一元积分的乘积。

详细步骤

固定 $x$，令 $u=y-x$，则 $\mathrm du=\mathrm dy$，且当 $y$ 从负无穷到正无穷，$u$ 也覆盖整个实数轴。因此

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)f(y-x)\,\mathrm dy =f(x)\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,\mathrm du.$$

$f(u)$ 仅在 $0\le u\le1$ 非零，故后一个积分为

$$\int_0^1e^u\,\mathrm du=e-1.$$

再对 $x$ 积分，同样利用支撑区间 $[0,1]$，得到

$$\begin{aligned} I&=(e-1)\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx\\ &=(e-1)\int_0^1e^x\,\mathrm dx=(e-1)^2. \end{aligned}$$

若直接描述非零积分区域，则应为 $0\le x\le1$、$x\le y\le x+1$，是一个平行四边形；不能把 $y$ 也直接限制在 $[0,1]$。本题函数非负且有界支撑，迭代积分收敛，上述换元合法。函数虽然外形类似密度，但其积分为 $e-1$，不是 $1$，题目也没有说它是概率密度。

把平移变量换成 $u$ 后，内层积分不再含参数 $x$，是一个常数；因此外层积分才能乘上相同总面积。

换元系数为一，没有额外伸缩因子，支撑区间的长度也保持不变。

两步积分均有限。

易错点

$y-x$ 的支撑条件与 $y$ 的支撑条件不同；不能把未归一化的函数自动当作概率密度。

答案：$-1$。

解题思路

要算原矩阵逆的迹，先按相反顺序撤销已经执行的变换，恢复 $A$。随后解一般右端向量的方程 $Az=b$，从解的表达式直接读出逆矩阵，避免再做较长的增广矩阵消元。

详细步骤

最终矩阵记为 $M$。最后的操作是 $C_1\leftarrow C_1-C_2$，逆操作为 $C_1\leftarrow C_1+C_2$，撤销后得到

$$\begin{pmatrix}-1&1&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}.$$

再撤销第二、三行交换，即再交换它们一次，恢复

$$A=\begin{pmatrix}-1&1&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}.$$

设 $Az=b=(b_1,b_2,b_3)^{\mathrm T}$。第二行给出 $z_1=-b_2$，第三行给出 $z_2=-b_3$；代入第一行 $-z_1+z_2-z_3=b_1$，得到 $z_3=-b_1+b_2-b_3$。因此

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&1&-1\end{pmatrix}.$$

对角元素依次为 $0,0,-1$，所以 $\operatorname{tr}(A^{-1})=-1$。一般右端方程对任意 $b$ 都给出唯一的 $z$，这也验证了恢复的矩阵可逆。逆向操作顺序必须从最后一步开始；虽然某些行列操作可以交换，这里按逆序执行可以可靠地对应题目给定过程。

从一般右端中读逆矩阵时，每个 $z_i$ 对各 $b_j$ 的系数构成逆矩阵第 $i$ 行，所以 $z_3$ 中的 $-b_3$ 正好给出第三个对角元素 $-1$。

把这个逆矩阵与恢复的原矩阵相乘，可得到单位矩阵。

易错点

行列倍加的逆操作要改变倍数符号；迹是对角元素之和，不是所有元素之和。

答案：$5/8$。

解题思路

条件事件是三个事件的并，目标事件是其中的 $B\cup C$，因此分子就是该目标事件概率。$B,C$ 独立可算它们的交；$A$ 分别与二者互斥，使 $A$ 与整个 $B\cup C$ 也互斥，可以直接相加得到分母。

详细步骤

由独立性，

$$P(B\cap C)=P(B)P(C)=\frac19.$$

使用两事件加法公式，

$$P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C) =\frac13+\frac13-\frac19=\frac59.$$

由集合分配律，

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)=\varnothing.$$

因此

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B\cup C)=\frac13+\frac59=\frac89.$$

由于 $B\cup C\subseteq A\cup B\cup C$，它们的交仍是 $B\cup C$。按条件概率定义，所求为

$$\frac{P((B\cup C)\cap(A\cup B\cup C))}{P(A\cup B\cup C)} =\frac{5/9}{8/9}=\frac58.$$

目标事件允许 $B$ 和 $C$ 同时发生，因为题目写的是并事件，不是“恰好一个发生”。而 $A$ 的发生会排除二者，因此条件样本空间中可以清楚分为 $A$ 和 $B\cup C$ 两个互斥部分。分母非零，条件概率定义合法。

条件概率相当于把原概率限制到至少一个事件发生的范围内，再重新归一化。在这个范围内，$B\cup C$ 所占比例为 $5/9$ 除以 $8/9$，并非直接沿用它在原样本空间中的概率 $5/9$。分母作为新的总范围概率，必须与分子同时计算。

易错点

不能将 $B\cup C$ 的概率写成 $2/3$；独立与互斥是不同条件，独立的两个正概率事件可以同时发生。

答案：渐近线为 $y=2x$。

解题思路

先求初值解，再分别检查定义域边界处与无穷远处的行为。系数含 $\sqrt x$，初值点位于 $x>0$，可在该区间按一阶线性方程求解。曲线与某直线的纵向差趋于零，便可确认对应的斜渐近线。

详细步骤

标准方程的系数为 $P(x)=1/(2\sqrt x)$，积分因子为

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,\mathrm dx}=e^{\sqrt x}.$$

观察 $y_p=2x$，有 $y_p'=2$、$y_p/(2\sqrt x)=\sqrt x$，确实满足非齐次方程。令 $u=y-2x$，则

$$u'+\frac{u}{2\sqrt x}=0, \qquad (e^{\sqrt x}u)'=0.$$

故 $u=Ce^{-\sqrt x}$，通解为 $y=2x+Ce^{-\sqrt x}$。初值 $y(1)=3$ 给出 $2+C/e=3$，所以 $C=e$，解为

$$y(x)=2x+e^{1-\sqrt x},\qquad x>0.$$

当 $x\to+\infty$，有 $y(x)-2x=e^{1-\sqrt x}\to0$，所以 $y=2x$ 是斜渐近线。也可按定义计算斜率 $\lim y/x=2$，截距 $\lim(y-2x)=0$。

当 $x\to0^+$，$y(x)\to e$，有限，因此 $x=0$ 不是铅直渐近线；在所有正的有限位置函数连续有限，也不存在其他铅直渐近线。函数在无穷远趋于无穷，没有水平渐近线，且其斜率和截距已唯一确定。

在 $x>0$ 的整个区间，指数修正项有限且随 $x$ 增大趋于零；这说明曲线与直线不是只保持平行，而是纵向距离实际趋于零，满足斜渐近线的完整要求。

易错点

系数在零点奇异不意味着解必然无界；判断渐近线必须看解的极限，而非只看微分方程系数。