2002年考研数学三真题

答案： $\dfrac1{1-2a}$。

解题思路

将题中的对数理解为对括号内真数的 $n$ 次幂取对数，即 $\ln(u_n^n)=n\ln u_n$。括号里的式子可以化为 $1+c/n$，随后使用零点附近的等价关系 $\ln(1+t)\sim t$。

详细步骤

1. 因为 $a\ne1/2$，可以令 $c=1/(1-2a)$，并把真数化简为

   $$\frac{n-2na+1}{n(1-2a)} =1+\frac{1}{n(1-2a)}=1+\frac cn.$$

2. 对固定的 $a$，当 $n$ 足够大时，$1+c/n>0$，所以即使 $c<0$，尾部的对数仍有实数定义。
3. 对数的幂法则给出

   $$\ln\left[\left(1+\frac cn\right)^n\right] =n\ln\left(1+\frac cn\right).$$

4. 令 $t=c/n\to0$，使用 $\ln(1+t)/t\to1$：

   $$n\ln\left(1+\frac cn\right) =c\frac{\ln(1+c/n)}{c/n}\longrightarrow c =\frac1{1-2a}.$$

易错点

$\ln(u_n^n)$ 与 $[\ln u_n]^n$ 是不同的表达式，本题采用前者。不能把 $a\ne1/2$ 错当成 $a<1/2$；极限只需要表达式在充分大的 $n$ 时有定义。

答案：

$$\int_0^{1/2}\mathrm{d}x\int_{x^2}^{x}f(x,y)\,\mathrm{d}y.$$

解题思路

原式采用水平切片：固定 $y$，让 $x$ 在两条边界之间变化，且在 $y=1/4$ 处分段。交换积分次序要先把两个区域合并，再用竖直切片重新描述，不能只交换积分符号。

详细步骤

1. 第一块区域满足

   $$0\le y\le\frac14,\qquad y\le x\le\sqrt y.$$

   在第一象限，$x\le\sqrt y$ 等价于 $x^2\le y$；$x\ge y$ 等价于 $y\le x$。
2. 第二块区域满足

   $$\frac14\le y\le\frac12,\qquad y\le x\le\frac12.$$

   两块拼接后，整个区域位于 $0\le x\le1/2$，下边界是 $y=x^2$，上边界是 $y=x$。
3. 对任意固定的 $x\in[0,1/2]$，有 $x^2\le x$，竖直线在区域中从抛物线 $y=x^2$ 走到直线 $y=x$，因此不再需要分段：

   $$D=\{(x,y):0\le x\le1/2,\ x^2\le y\le x\}.$$

4. 保持同一被积函数和同一区域，改成先对 $y$ 后对 $x$ 积分，就得到答案。

易错点

原来的分段点 $y=1/4$ 是抛物线与 $x=1/2$ 相交的高度，并不意味着换序后也要在 $x=1/4$ 分段。交换次序没有改变坐标，无需引入雅可比因子。

答案： $a=-1$。

解题思路

两个向量线性相关，且其中一个非零时，另一个必定是它的某个数倍。$\alpha=(a,1,1)^T$ 不可能为零，因此设 $A\alpha=\lambda\alpha$，通过坐标比较求参数即可。

详细步骤

1. 先进行矩阵乘法：

   $$A\alpha= \begin{pmatrix} 1&2&-2\\2&1&2\\3&0&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\2a+3\\3a+4\end{pmatrix}.$$

2. 线性相关要求存在实数 $\lambda$，使

   $$a=\lambda a,\qquad 2a+3=\lambda,\qquad 3a+4=\lambda.$$

3. 后两个等式右边相同，因此 $2a+3=3a+4$，解得 $a=-1$。代入第二式，得到 $\lambda=1$。
4. 最后检查第一个坐标：$a=-1=\lambda a$。此时

   $$A(-1,1,1)^T=(-1,1,1)^T,$$

   所以条件确实成立。

易错点

矩阵乘法要逐行与向量相乘。直接从 $a=\lambda a$ 约去 $a$ 会遗漏对 $a=0$ 的检查；使用后两个坐标先消去比例系数更稳妥。

答案： $\operatorname{Cov}(X^2,Y^2)=-0.02$。

解题思路

协方差的定义是 $E(X^2Y^2)-E(X^2)E(Y^2)$。先注意 $X$ 只取 $0,1$，所以 $X^2=X$；$Y^2$ 则只区分 $Y$ 是零还是 $\pm1$。按联合分布表逐项计算即可，不需要假设独立。

详细步骤

1. $X^2=1$ 当且仅当 $X=1$，故

   $$E(X^2)=P(X=1)=0.08+0.32+0.20=0.60.$$

2. $Y^2=1$ 当且仅当 $Y=-1$ 或 $Y=1$，因此

   $$E(Y^2)=0.07+0.08+0.15+0.20=0.50.$$

3. 乘积 $X^2Y^2=1$ 需要同时满足 $X=1$、$Y=\pm1$。其余格子的乘积值都是零，所以

   $$E(X^2Y^2)=0.08+0.20=0.28.$$

4. 代入协方差公式：

   $$\operatorname{Cov}(X^2,Y^2) =0.28-0.60\cdot0.50=-0.02.$$

易错点

平方之后，$Y=-1$ 与 $Y=1$ 都贡献 $1$，不能只统计 $Y=1$ 的一列。没有独立性时，不能直接令乘积的期望等于两个期望的乘积。

答案： $\widehat\theta=\overline X-1$。

解题思路

只有一个未知参数，使用一阶矩估计即可：先把总体期望写成参数的函数，再令它等于样本均值，解出参数。题中 $X-\theta$ 的密度是率参数为 $1$ 的指数密度。

详细步骤

1. 令 $V=X-\theta$。它在 $v\ge0$ 时的密度为 $e^{-v}$，区间外为零。因此 $E(V)=1$，从而

   $$E(X)=\theta+1.$$

2. 也可直接验证期望：

   $$E(X)=\int_\theta^\infty xe^{-(x-\theta)}\,\mathrm{d}x =\int_0^\infty(v+\theta)e^{-v}\,\mathrm{d}v.$$

   两个积分分别为 $\int_0^\infty e^{-v}\,\mathrm{d}v=1$ 和 $\int_0^\infty ve^{-v}\,\mathrm{d}v=1$，所以结果为 $\theta+1$。
3. 一阶矩估计把总体一阶矩 $E(X)$ 用样本一阶矩 $\overline X$ 替代：

   $$\overline X=\widehat\theta+1.$$

4. 解得 $\widehat\theta=\overline X-1$。带帽符号表示它由样本计算而来，是参数的估计量。

易错点

这里 $\theta$ 是平移位置，不是指数分布的率参数。矩估计与最大似然估计是不同方法，不能因为密度的支持下界是 $\theta$ 就直接填样本最小值。

答案：B。

解题思路

可导必连续，但题设只保证开区间内可导，没有保证端点处连续。因此内点的连续性一定成立，而零点定理、罗尔定理和拉格朗日中值定理所需的闭区间连续性不一定成立。

详细步骤

1. 任意 $\xi\in(a,b)$ 都是可导点，因此 $f$ 在 $\xi$ 连续：

   $$\lim_{x\to\xi}f(x)=f(\xi).$$

   所以 $\lim_{x\to\xi}[f(x)-f(\xi)]=0$，B 必然成立。
2. A、D 可同时用一个反例排除：在 $[0,1]$ 上令 $f(0)=-1$，而 $0<x\le1$ 时 $f(x)=1$。它在开区间可导、导数恒为零，两个端点值异号，但区间内没有零点；端点函数差为 $2$，也不等于任何 $f'(\xi)\cdot1$。
3. C 可取 $f(0)=f(1)=0$、$f(x)=x$（$0<x<1$）。开区间内导数恒为 $1$，没有导数为零的点，却满足两个端点函数值相同。
4. 两个反例都符合题设，只是在端点不连续，说明其余选项缺少必要前提。

易错点

“闭区间上有定义”不等于“闭区间上连续”。应用中值定理之前，要逐项核对连续区间、可导区间和端点条件。

答案：A。 本题采用收敛半径为 $5$ 的通常计算口径；其成立需要下述额外条件。

题干条件与争议说明

答案： 仅凭题设无法唯一确定收敛半径，也不能确定唯一选项。通常得到 $5$、对应 A 的计算，还需要两组系数的 $n$ 次方根极限存在等额外条件；题设没有给出这些条件。

解题思路

收敛半径一般由系数 $n$ 次方根的上极限决定，而非一定由普通极限决定。上极限不能像普通极限那样直接相除。本题必须区分通常的额外条件下的计算结果与题设本身能够推出的结论。

详细步骤

1. 记两级数半径为 $R_a=\sqrt5/3$、$R_b=1/3$。由收敛半径公式，

   $$\limsup |a_n|^{1/n}=\frac3{\sqrt5},\qquad \limsup |b_n|^{1/n}=3.$$

   目标系数 $c_n=a_n^2/b_n^2$ 则满足

   $$\frac1{R_c}=\limsup \left(\frac{|a_n|^{1/n}}{|b_n|^{1/n}}\right)^2.$$

   要使目标级数有定义，还须 $b_n\ne0$。收敛半径为 $1/3$ 本身不能保证这一点；下面的反例全部满足 $b_n\ne0$，说明即使目标级数有定义，两个上极限的商也不能确定右边。
2. 若额外假设两个上极限都是普通极限，则

   $$\frac1{R_c} =\left(\frac{3/\sqrt5}{3}\right)^2=\frac15,$$

   于是 $R_c=5$。另一种足够的额外条件是两个相邻系数绝对值的比值极限存在，此时可用比值公式计算

   $$R_c=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| =\left(\frac{R_a}{R_b}\right)^2 =\left(\frac{\sqrt5/3}{1/3}\right)^2=5.$$

   但“已知收敛半径”不能推出这些比值极限存在。
3. 用两个例子检验这个附加条件是否能省去。先取 $a_n=(3/\sqrt5)^n$、$b_n=3^n$，两原半径符合题设，且 $c_n=5^{-n}$，目标半径确为 $5$。
4. 保持 $a_n$ 不变，改为

   $$b_n=\begin{cases} 3^n,&n\text{ 为偶数},\\ (3/5)^n,&n\text{ 为奇数}. \end{cases}$$

   此时 $|b_n|^{1/n}$ 的上极限仍为 $3$，所以原半径仍为 $1/3$。但目标系数的 $n$ 次方根在偶数项为 $1/5$，在奇数项为

   $$\left(\frac{3/\sqrt5}{3/5}\right)^2=5,$$

   故目标半径为 $1/5$，对应 D。
5. 相同的两个原半径，在两组符合题设且分母系数均非零的例子中，分别得到 A、D 两个不同选项。因而不能把 A 或 D 认定为题设所保证的唯一答案。

易错点

系数的比值或 $n$ 次方根极限未必存在。知道收敛半径，不能自动补上“普通极限存在”的前提。

答案：D。

解题思路

先确认乘积 $AB$ 的阶数和方程的未知数个数，再用“齐次方程的秩小于未知数个数时必有非零解”。矩阵乘积的秩不能超过中间维数 $n$，因此 $m>n$ 给出确定结论。

详细步骤

1. $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times m$ 矩阵，所以 $AB$ 是 $m\times m$ 矩阵，方程 $(AB)x=0$ 有 $m$ 个未知数。
2. 矩阵乘积的秩满足

   $$r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}\le n.$$

3. 当 $m>n$ 时，有 $r(AB)\le n<m$。由齐次方程解空间维数 $m-r(AB)>0$，可知必有非零解，因此选择 D，C 与它相反。
4. 当 $n>m$ 时，情况并不固定。例如取

   $$A=(E_m,\ 0),\qquad B=\begin{pmatrix}E_m\\0\end{pmatrix},$$

   则 $AB=E_m$，方程只有零解；而取 $A=0$，则 $AB=0$，任意向量都是解。两个例子分别排除 B、A 中的必然性判断。

易错点

乘积矩阵 $AB$ 的阶数是 $m$，不是 $n$。这里只得到秩的上界，不能无条件把 $r(AB)$ 写成 $n$。

答案：B。

解题思路

先把转置展开成一个相似变换形式，再判断特征向量如何变换。题设中特别给出 $A$ 对称，是为了能将 $A^T$ 换回 $A$；变换后的特征向量应由实际矩阵乘法检验。

详细步骤

1. 用乘积转置规则，并注意顺序反转：

   $$M=(P^{-1}AP)^T =P^TA^T(P^{-1})^T.$$

2. 因为 $A^T=A$，且 $(P^{-1})^T=(P^T)^{-1}$，所以

   $$M=P^TA(P^T)^{-1}.$$

   它是以 $P^T$ 为变换矩阵的相似形式。
3. 已知 $A\alpha=\lambda\alpha$，因此直接计算

   $$M(P^T\alpha) =P^TA(P^T)^{-1}P^T\alpha =P^TA\alpha =\lambda P^T\alpha.$$

4. 特征向量还必须非零。$P^T$ 可逆且 $\alpha\ne0$，所以 $P^T\alpha\ne0$。它确实是 $M$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，选 B。

易错点

不能沿用未转置矩阵 $P^{-1}AP$ 的特征向量 $P^{-1}\alpha$。矩阵的转置既反转乘积顺序，也改变了这里的变换矩阵。

答案：C。

解题思路

一个标准正态变量的平方就是自由度为 $1$ 的卡方变量，这只依赖它自己的分布。两个变量的和、平方和或平方比的分布则涉及联合关系，不能从两个边缘正态分布自动推出。

详细步骤

1. 由卡方分布的定义，$X\sim N(0,1)$ 保证 $X^2\sim\chi^2(1)$，$Y\sim N(0,1)$ 保证 $Y^2\sim\chi^2(1)$。不需要 $X,Y$ 独立，故 C 一定成立。
2. 为说明其余结论不一定成立，取标准正态变量 $Z$，以及与它独立的随机符号 $S$，其中 $P(S=1)=P(S=-1)=1/2$。令 $X=Z$、$Y=SZ$。因为 $Z$ 与 $-Z$ 同分布，两者边缘仍是标准正态。
3. 此时 $X+Y$ 在 $S=-1$ 时恒为零，在 $S=1$ 时为 $2Z$。其分布有概率 $1/2$ 集中在零点，同时又不是常数，因而不是正态分布，A 不一定成立。
4. 又 $X^2+Y^2=2Z^2$，均值为 $2$、方差为 $8$。若它是卡方分布，均值会迫使自由度为 $2$，但该卡方分布方差应为 $4$，矛盾。故 B 不一定成立。
5. $X^2/Y^2=1$ 几乎处处成立，是退化变量，不是通常的连续 $F$ 分布，因此 D 也不一定成立。

易错点

“各自正态”不意味着“相互独立”，也不意味着“联合正态”。构造卡方和或 $F$ 比值时，相关独立性条件必须另行满足。

答案： $\dfrac\pi6$。

解题思路

分子是两层积分。先看最内层的被积函数在零点附近趋于什么常数，由此确定内积分的主要项；再对主要项积分，最后与分母的小量阶数比较。

详细步骤

1. 因为 $\arctan(1+t)$ 在 $t=0$ 连续，且值为 $\pi/4$，有

   $$\arctan(1+t)=\frac\pi4+o(1).$$

   当 $u\to0$ 时，

   $$H(u)=\int_0^{u^2}\arctan(1+t)\,\mathrm{d}t =\frac\pi4u^2+o(u^2).$$

2. 外层积分于是满足

   $$N(x)=\int_0^xH(u)\,\mathrm{d}u =\frac\pi4\int_0^xu^2\,\mathrm{d}u+o(x^3) =\frac{\pi}{12}x^3+o(x^3).$$

   对负 $x$，积分方向和 $x^3$ 同时变号，这一表达式仍成立。余项也可用 $|o(u^2)|\le\varepsilon u^2$ 的局部估计验证。
3. 分母使用 $1-\cos x=x^2/2+o(x^2)$：

   $$x(1-\cos x)=\frac12x^3+o(x^3).$$

4. 分子分母同为三阶小量，比较主要项系数：

   $$\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{x(1-\cos x)} =\frac{\pi/12}{1/2}=\frac\pi6.$$

易错点

内层积分的上限是 $u^2$，不是 $u$；外层再积分会额外带来因子 $1/3$。不能只用内层的 $\pi/4$ 就直接作答。

答案：

$$\mathrm{d}u= \left[f_x+f_z\frac{(1+x)e^x}{(1+z)e^z}\right]\mathrm{d}x+ \left[f_y-f_z\frac{(1+y)e^y}{(1+z)e^z}\right]\mathrm{d}y.$$

公式适用于 $z\ne-1$ 的可微隐函数分支，各偏导数均在当前 $(x,y,z(x,y))$ 处取值。

解题思路

$u$ 对 $x,y$ 的变化既有直接影响，也有通过 $z(x,y)$ 产生的间接影响。先对隐函数关系求全微分，求出 $\mathrm{d}z$，再把它代入 $f$ 的全微分。

详细步骤

1. 对 $te^t$ 求导，得到 $(1+t)e^t$。因此对题设

   $$xe^x-ye^y=ze^z$$

   取全微分，得

   $$(1+x)e^x\,\mathrm{d}x-(1+y)e^y\,\mathrm{d}y =(1+z)e^z\,\mathrm{d}z.$$

2. $e^z$ 恒不为零。若 $z\ne-1$，隐函数定理的相关偏导数非零，可以解得

   $$\mathrm{d}z= \frac{(1+x)e^x}{(1+z)e^z}\,\mathrm{d}x -\frac{(1+y)e^y}{(1+z)e^z}\,\mathrm{d}y.$$

3. $f$ 的一阶偏导数连续，故

   $$\mathrm{d}u=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y+f_z\,\mathrm{d}z.$$

4. 将第 2 步代入，分别合并 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 的系数，即得到答案。原关系中 $ye^y$ 前的负号保留在 $\mathrm{d}y$ 的间接项中。

易错点

求 $\mathrm{d}u$ 时不能遗漏 $f_z\,\mathrm{d}z$。在 $z=-1$ 处不能直接使用含零分母的公式，是否存在可微分支需要另行分析。

答案： $2\sqrt{x}-2\sqrt{1-x}\arcsin\sqrt{x}+C$，其中 $0<x<1$，采用 $0<t<\pi/2$ 的主值分支。

题干条件与分支说明

结论： 题设未限定复合关系中自变量的范围，不能据此确定单值函数 $f$ 和唯一的积分结果。若把关系理解为在所有 $\sin t\ne0$ 的实数 $t$ 上成立，则这样的单值函数不存在。若另行限定关系只在主分支 $0<t<\pi/2$ 上成立，常用积分结果为

$$2\sqrt x-2\sqrt{1-x}\arcsin\sqrt x+C,\qquad 0<x<1.$$

这个分支条件不是题设已经给出的条件。

解题思路

先检查同一个函数自变量是否会被要求取不同的函数值，再讨论指定分支后的积分。按主分支计算时，被积函数中的两个平方根提示令 $x=\sin^2t$，然后进行一次分部积分。

详细步骤

先把题设复合关系中的自变量改记为 $t$，避免与积分变量 $x$ 混淆。取 $t=\pi/6$ 与 $t=5\pi/6$，两者都有

$$\sin^2t=\frac14,$$

但题给关系分别要求

$$f\left(\frac14\right)=\frac{\pi/6}{1/2}=\frac\pi3, \qquad f\left(\frac14\right)=\frac{5\pi/6}{1/2}=\frac{5\pi}3.$$

同一个输入不能对应两个不同的函数值，所以该关系不能在整个自然定义范围内定义单值函数。若只要求关系在一个未指定的分支区间上成立，结果也不唯一：第一象限分支给出

$$f(x)=\frac{\arcsin\sqrt x}{\sqrt x},$$

而 $\pi/2<t<\pi$ 分支给出

$$f(x)=\frac{\pi-\arcsin\sqrt x}{\sqrt x},\qquad 0<x<1.$$

这两个函数不同，所对应的被积函数也不同。

下面仅计算额外指定主分支后的结果。

1. 令 $x=\sin^2t$，取 $0<t<\pi/2$。在这个区间上，

   $$\sqrt x=\sin t,\qquad\sqrt{1-x}=\cos t,\qquad \mathrm{d}x=2\sin t\cos t\,\mathrm{d}t.$$

2. 利用复合关系 $f(x)=t/\sin t$，积分化为

   $$\int\frac{\sin t}{\cos t}\frac{t}{\sin t} \cdot2\sin t\cos t\,\mathrm{d}t =\int2t\sin t\,\mathrm{d}t.$$

3. 分部积分取 $u=2t$、$\mathrm{d}v=\sin t\,\mathrm{d}t$，则

   $$\int2t\sin t\,\mathrm{d}t =-2t\cos t+2\int\cos t\,\mathrm{d}t =2\sin t-2t\cos t+C.$$

4. 代回 $t=\arcsin\sqrt x$、$\sin t=\sqrt x$、$\cos t=\sqrt{1-x}$，得到主分支下的积分结果。对结果求导也可核对：

   $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left[2\sqrt x-2\sqrt{1-x}\arcsin\sqrt x\right] =\frac{\arcsin\sqrt x}{\sqrt{1-x}} =\frac{\sqrt x}{\sqrt{1-x}}f(x).$$

易错点

一般有 $\sqrt{\sin^2t}=|\sin t|$，而 $\arcsin(\sin t)$ 也未必等于 $t$。选择主分支后才能使用上面的等式，不能把换元时自行选择的区间当作题设的条件。别忘记不定积分中的常数 $C$。

答案：

$$V_1=\frac{4\pi}{5}(32-a^5),\qquad V_2=\pi a^4; \qquad a=1\text{ 时 }V_1+V_2=\frac{129\pi}{5}.$$

解题思路

两个平面区域绕不同的轴旋转，不能用同一个半径公式。$D_1$ 绕 $x$ 轴可以用圆盘法；$D_2$ 绕 $y$ 轴用竖直薄片的圆柱壳法最直接。得到体积函数后，再在 $0<a<2$ 内求最大值。

详细步骤

1. 对 $D_1$，横坐标从 $a$ 到 $2$，每个圆盘半径为 $y=2x^2$，所以

   $$V_1=\pi\int_a^2(2x^2)^2\,\mathrm{d}x =4\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_a^2 =\frac{4\pi}{5}(32-a^5).$$

2. 对 $D_2$，横坐标从 $0$ 到 $a$。竖直薄片旋转后形成半径 $x$、高度 $2x^2$ 的圆柱壳，因此

   $$V_2=2\pi\int_0^a x(2x^2)\,\mathrm{d}x =4\pi\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^a =\pi a^4.$$

3. 令 $V(a)=V_1+V_2$，求导：

   $$V'(a)=-4\pi a^4+4\pi a^3=4\pi a^3(1-a).$$

   $0<a<1$ 时为正，$1<a<2$ 时为负，所以 $a=1$ 是该区间内的全局最大值点。
4. 代入计算：

   $$V(1)=\frac{4\pi}{5}(32-1)+\pi =\frac{124\pi}{5}+\frac{5\pi}{5} =\frac{129\pi}{5}.$$

易错点

圆盘法的截面积是 $\pi r^2$，圆柱壳法的体积元是 $2\pi r h\,\mathrm{d}x$，两者不能混用。求最大值必须检查允许区间中的导数符号。

答案：（1）满足 $y''+y'+y=e^x$；（2）$\displaystyle y(x)=\frac13e^x+\frac23e^{-x/2}\cos\frac{\sqrt3 x}{2}$，$x\in\mathbb R$。

解题思路

原级数只含次数为 $3$ 的倍数的项。求一次、二次导数后，会分别得到另外两类次数，三者相加恰好补齐 $e^x$ 的全部幂级数。得到微分方程以后，用二阶常系数非齐次方程的通解，再由原级数给出的初值确定两个常数。

详细步骤

（1）先说明逐项求导合法。对固定的 $x$，相邻项绝对值之比为

$$\frac{|x|^{3(n+1)}/(3n+3)!}{|x|^{3n}/(3n)!} =\frac{|x|^3}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}\longrightarrow0.$$

因此幂级数在整个实数轴上收敛，收敛半径为无穷大，可以在任意有限区间内逐项求导。两次求导得到

$$\begin{aligned} y(x)&=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots,\\ y'(x)&=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots,\\ y''(x)&=x+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots. \end{aligned}$$

这三行的次数分别为 $3n$、$3n+2$、$3n+1$，合起来包含每个非负整数次数且没有重复，所以

$$y''+y'+y=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=e^x.$$

（2）对应齐次方程的特征方程为

$$r^2+r+1=0,\qquad r=-\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$

故齐次通解为

$$y_h=e^{-x/2}\left(C_1\cos\frac{\sqrt3 x}{2} +C_2\sin\frac{\sqrt3 x}{2}\right).$$

右端为 $e^x$，且 $1$ 不是特征根，设特解 $y_p=Ae^x$，代入得 $3Ae^x=e^x$，于是 $A=1/3$。完整通解为 $y=y_h+e^x/3$。

从原级数直接读出 $y(0)=1$、$y'(0)=0$。第一个初值给出

$$C_1+\frac13=1,\qquad C_1=\frac23.$$

在 $x=0$ 处计算通解的导数，第二个初值给出

$$-\frac12C_1+\frac{\sqrt3}{2}C_2+\frac13=0.$$

代入 $C_1=2/3$ 得 $C_2=0$，因此

$$\boxed{y(x)=\frac13e^x+\frac23e^{-x/2}\cos\frac{\sqrt3 x}{2}}.$$

二阶方程配合两个初值唯一确定解，故这就是原幂级数的和函数。

易错点

逐项求导后，阶乘的分母也必须随次数一起降低；确定二阶方程的两个常数，应使用 $y(0)$ 和 $y'(0)$，不要只代一个初值。